고등학생을 위한 즐거운 고급수학

리버티책, 모두가 만들어가는 자유로운 책
고등학생을 위한 즐거운 학문/고급수학

목적[편집 | 원본 편집]

《고급수학》은 수학에 심도 있는 학습을 원하는 고등학생이나 예비 수학과 학생들을 위한 것으로, 수학과 1학년이 전공 또는 교양으로 배우는 것 가운데 일부를 고르고 압축하였다. 따라서 기존 《미적분》에 있던 엡실론-델타 논법 등이 이 책으로 격상되었고, 1단원은 수학과 1학년이 듣는 전공에 대한 내용으로, 2단원은 교양인 미적분학에서 배우는 내용으로 구성되어 있다.

이산수학[편집 | 원본 편집]

모임과 고유모임[편집 | 원본 편집]

러셀의 역설과 해결[편집 | 원본 편집]

우리가 비록 《고등학생을 위한 즐거운 이산수학》에서 원소(Element)와 집합(Set)을 서로 다르게 취급했지만, 여기서는 이들을 모두 '모임'(Class)이라는 이름으로 통합할 것이다. 왜냐하면, 집합을 단순히 원소를 모아놓은 것이라고 정의하는 바람에 한 가지 역설이 발생했기 때문이다. 그 역설의 이름은 '러셀의 역설'이라 하며, 그 내용은 아래와 같다.

집합 에 대해, 이라면, 인가? 인가?

이것이 역설이 되는 이유는 아래와 같다.

  1. 이라면, 라는 조건에 어긋나므로 여야 한다. 그러므로 모순이다.
  2. 이라면, 라는 조건에 부합하므로 여야 한다. 그러므로 모순이다.

분명 문제가 없어 보였던 집합의 정의로부터 유도된 이 문장이, 모든 경우에서 모순이 발생하였으므로, 수학자들은 집합의 토대를 삼밭 갈아엎듯이 다시 세워야만 했다.

그리하여 수학자들은 원소와 집합 등등을 모두 '모임'이라는 이름으로 통합하였고, 모임을 다시 둘로 구분하였다. 하나는 다른 모임의 원소가 될 수 있는 '집합'(Set)으로, 다른 하나는 그 어느 모임의 원소도 될 수 없는 '고유모임'(Proper class)으로 구분하였다. 여기서 용어들을 다시 정리하자.

  • 모임(Class): 무언가를 모아둔 것이라는 뜻이지만, 수학적으로 엄밀하게 정의하지는 않는 용어다.
  • 원소(Element): 어느 모임에 속한 모임. 즉 모임 가 있어, 이 모임이 다른 모임 안에 속해 있으면, 모임 는 모임 의 원소라 하고, 이를 라 표시한다.
  • 집합(Set): 모임 가운데 어느 모임에 속할 수 있는 모임. 원소도 집합에 속하며, 집합은 원소가 될 수 있다.
  • 고유모임(Proper class): 어떠한 모임에도 속할 수 없는 모임. 즉, 집합이면서 고유모임인 것은 없다.[1]

또한 마찬가지로 우리가 고등학교에서 입때껏 배운 집합 연산 용어들도, '집합'이라는 것을 밝혀야 하는 이유가 없는 한 '모임'으로 대체할 것이다. 예컨대 합모임, 교모임, 부분모임처럼 말이다.

다시 러셀의 역설로 되돌아간다면, 인 '집합' 라는 말은 타당치 않다. 그러나, 집합보다 더 큰 개념인 모임을 이용하여 다시 쓰면 아래와 같다.

모임 에 대해, 이라면, 인가? 인가?

그리고, 러셀의 역설은 해결된다. 왜냐하면, 우리는 모임 가 집합일 경우에 모순이 생긴다는 것을 발견했기 때문이다. 그렇다면 모임 는 고유모임이 되어야 하는데, 고유모임은 그 어느 모임에도 속할 수 없으므로 원소가 될 수 없다. 따라서 이 문장의 정답은 가 적절하다.

집합론의 대표적인 공리들[편집 | 원본 편집]

집합론에는 여러 공리들이 존재한다. 공리들은 우리가 증명하지 않아도 이들을 참이라 여기고 공리와 정의를 바탕으로 논리적으로 이론을 전개해 나아가도록 하는 문장이므로, 대개 추상적이거나 당연시하게 여겨지는 문장이 많다. 그러므로 예비 수학과가 아니고서야 아래 공리들을 심각하게 받아들일 필요까지는 없다.

  • 모임 가 모임 의 부분모임(Subclass)이고, 모임 가 모임 의 부분모임이라면, 이는 와 동치이다.
  • 공집합 은 존재한다.
  • 임의의 집합의 모든 부분집합은 집합이다.
  • 임의의 집합 의 부분집합이며, 특정한 성질을 만족하는 집합이 존재한다.
    • 임의의 두 집합 의 교집합 은 존재한다.
  • 임의의 두 집합 의 합집합 는 집합이다.
  • 임의의 두 집합 를 원소로 갖는 집합 가 존재한다.
    • 임의의 자연수만큼 원소를 갖는 집합이 존재한다.
    • 집합 에 대해 인 경우, 가 되어, 한원소 집합의 존재가 증명된다.
  • 임의의 집합의 집합 에 속하는 원소들의 합집합 은 집합이다.
  • 임의의 집합 의 멱집합 는 집합이다.
  • 공집합이 아닌 임의의 집합 에 대해 이면서 인 원소 가 존재한다.
    • 공집합이 아닌 임의의 집합은 자신의 원소, 원소의 원소 등을 파헤치는 유한한 과정을 통해 공집합에 다다른다. (모든 집합은 공집합과 그 멱집합, 멱집합의 멱집합 등으로 구성된다.)
    • 자기 자신을 포함하는 집합이나 재귀적인 형태의 집합은 존재하지 않는다.
  • 공집합 을 원소로 가지고 임의의 원소 에 대해, 를 원소로 하는 집합이 존재한다.
    • 원소의 개수가 무한한 집합이 존재한다.

그럼 앞선 공리들을 이용해 몇 가지를 확인해 보자.

  1. 두 모임 중 적어도 하나가 고유모임이라면, 그 합모임은 고유모임이다.
    임의의 집합의 모든 부분집합은 집합이다.의 대우이므로 쉽게 증명될 수 있지만, 이산수학을 가르치는 목적이 논리력을 향상시키기 위함이므로, 다른 방식으로도 증명해 보자.
    모임 이 있고 둘 중 적어도 하나는 고유모임이다. 그 합모임을 라 하자. 만약 이 합모임이 집합이라면, 멱집합이 존재한다. 그러면 그 멱집합 에 대해 이 성립한다. 그런데, 둘 중 적어도 하나는 고유모임이므로 다른 모임의 원소가 될 수 없다. 따라서 이 멱집합은 존재할 수 없고, 그 합모임도 집합이 아닌 고유모임이다.
  2. 임의의 고유모임의 부분모임에는 적어도 하나의 고유모임이 존재한다.
    이는 사실 임의의 두 집합 의 합집합 는 집합이다.라는 공리의 대우에 해당한다. 왜냐하면 임의의 두 집합 에 대해, 그 합집합인 을 만족하기 때문이다.
    이는 다시 말해서, 임의의 고유모임의 부분모임에는 또 하나의 고유모임이 있고, 그 고유모임의 부분모임에도 또 다른 고유모임이 존재하여 이것이 무한히 반복된다는 것을 의미한다. 따라서 고유모임의 크기란 말 그대로 졸라짱큰 것이다.
  3. 공리적 집합론에서의 자연수란 무엇인가?
    공리에 따라 모든 집합은 공집합으로 환원될 수 있다. 또한, 공집합 을 원소로 가지고 를 원소로 갖는 집합 중, 를 원소로 하는 집합이 존재한다.라는 공리는 우리가 기존에 써왔던 수학적 귀납법과 들어맞는다. 그럼 이 공리들을 이용해서 0을 포함하는 자연수를 정의해 보자.
    1. 공집합 은 0에 대응된다. 0 또한 자연수로 취급한다.
    2. 집합 가 어느 자연수에 대응된다고 할 때, 를 그 자연수의 다음 수라 하자.
    3. 즉 다시 말해서, 이 0에 대응되므로, 은 0의 다음 수인 1에 대응된다.
    4. 계속, 은 1의 다음 수인 2에 대응한다.
    5. 즉, 이를 반복하여 집합을 늘려 나가면 자연수가 계속 생성되며, 그 값은 그에 대응하는 집합 속 원소의 개수와 같다. 이를 통해, 자연수들의 집합을 도출해낼 수 있다.
    자연수에 대한 이 정의는 자연수가 어떻게 순서를 갖게 되는지를, 쉬우면서도 페아노 공리계보다 직관적으로 설명하기 때문에 현대 수학에서는 이러한 정의를 주로 사용한다. 그리고 우리는 앞으로 자연수의 범위에 0을 포함시킬 것이다.

곱모임과 곱집합[편집 | 원본 편집]

두 모임 가 있을 때, 에 대해 로 정의하고, 이를 곱모임이라 한다. 만약 두 모임이 모두 집합이라면, 곱집합이라고도 한다. 교집합과는 전혀 다르니 주의해야 한다. 혹은 직교 좌표계를 고안한 프랑스의 수학자 겸 철학자인 르네 데카르트의 이름을 따서 '데카르트 곱', '카티지언 곱'이라고도 한다. 그러니까, 이 있다고 하면, 는 각 모임에 있는 원소들을 차례대로 선택하여 만든 순서쌍들의 모임인 으로 구성된다. 한편, 라는 전혀 다른 모임이 된다. 이를 통해 인 두 모임 의 존재를 증명하였다. 이는 곱모임에서는 교환법칙이 성립되지 않음을 의미한다. 이외에도 곱모임의 성질은 여럿이 있으며, 그 증명은 예비 수학과에게 맡긴다.

  • 교환법칙이 성립되지 않는다.
  • 결합법칙이 성립되지 않는다.
  • 곱집합은 집합이다.
    이를 증명하는 방법은 약간 별나니, 이에 대해서는 순서쌍을 먼저 설명한 다음에 설명토록 하겠다.

순서쌍과 튜플[편집 | 원본 편집]

집합은 앞서 말한 공리에 따라, 집합의 표기는 원소의 순서와 무관하며 같은 원소는 하나만 써도 된다. 다시 말해서, 는 같은 집합이고, 과 같은 집합이다. 그러나 우리는 중고등학교에서 순서쌍을 배웠고, 이는 이름 그대로 성분의 순서와 유관하다. 즉, 집합에서와는 달리 순서쌍에서는 로 되는 것이다.

수학자들은 러셀의 역설 전후로 집합론을 바탕으로 수학을 새롭게 전개하고자 하였다. 순서쌍도 그 대상 중 하나였다. 그러나 집합과 순서쌍은 성질이 다른데, 어떻게 집합으로 순서쌍을 표현했을까? 수학자들은 순서쌍의 순서를 표현하기 위해 순서쌍을 아래처럼 집합으로 나타내었다.

그러니까 가 만족되는 필요충분조건은 이다. 이에 대한 증명은 아래와 같다.

이라 함은, 와 같다.
  1. 인 경우
    로부터 가 도출된다. 그러면 는 다시 로 되고, 이것이 성립하려면 가 되어야 로 된다. 따라서, 이다.
  2. 인 경우
    인데, 이므로, 이다. 따라서 이다. 같은 방법으로 , , 가 도출되며 이다.

역으로, 로부터 이 도출되는 것은 순서쌍의 정의상 자명하다.

따라서 가 만족되는 필요충분조건은 이다.

순서쌍에 대한 마지막 내용으로, 라면, 순서쌍 는 모두 의 부분집합이 된다. 그럼 이 점을 이용하여 집합의 곱집합이 집합이라는 것을 증명해 보자.

  1. 와 동치다.
  2. 라면, 가 성립된다.
  3. 그러므로 의 멱집합 에 대해, 가 성립한다.
  4. 다시 의 멱집합 에 대해, 가 성립한다.
  5. 따라서 이다.
  6. 집합끼리의 합집합은 집합이며, 집합의 멱집합도 집합이며, 집합의 부분집합도 집합이므로, 집합의 곱집합은 집합이다.

튜플(Tuple)은 순서쌍의 확장된 형태로, 성분이 2개인 순서쌍을 포함하여, 0을 포함하는 자연수 에 대해 개의 성분을 순서대로 나열하고 묶은 쌍이다. 튜플의 성분 개수에 따라 '-튜플'이라 부르는 게 일반적이다.

순서쌍의 정의는 잘 알겠으나, 순서쌍으로부터 튜플은 어떻게 확장되는 것일까? 일단, 0-튜플을 공집합으로 보자. 그리고 0을 포함하는 자연수 에 대해, 임의의 -튜플을 라 할 때, 번째 성분을 덧붙인 -튜플은 라고 한다. 그러니까 튜플은 아래와 같이 확장되는 것이다.

  1. 0-튜플:
  2. 1-튜플:
  3. 2-튜플:
  4. 3-튜플:

비록 순서쌍의 정의와는 조금 달라보이지마는, 튜플의 확장에 순서쌍의 정의를 쓰기는 했고, 원소로서의 공집합을 다른 무언가로 대체하면 순서쌍의 정의와 같은 모양이 나오므로 큰 상관은 없다.

순서쌍과 튜플은 '일차독립(Linear independent)'인 벡터들의 쌍을 표시하거나 함수 및 그래프 관계를 표시하는 데 쓰인다. 이로써 순서쌍과 튜플에 대한 설명을 마친다.

그래프와 함수[편집 | 원본 편집]

우리가 그래프라 하면 아마 뉴스 기사에 나오는 원형, 막대형 같은 통계 자료 표현이라든가, 직교 좌표계에 그려진 선 등을 생각할 것이다. 혹, 통상 갖고 있을 법한 오해를 풀기 위해 먼저 언급하자면, 그래프가 모든 점에서 연속이지 않아도 무방하다. 그래프는 단지 '그림'을 의미할 뿐이며, 수학에서 말하는 그래프의 정의는 단지 순서쌍이나 튜플의 모임이며 우리가 생각하는 그 그래프들은 이 그래프의 '이미지'다. 즉, 전체모임 에 대해 순서쌍의 그래프 가 성립된다.

우리는 이미 중학교에서부터 함수라는 것을 오랫동안 배워왔다. '잠재적 함수'라고 불리는 음함수 같은 경우를 제외하고, 우리가 배운 함수란 정의역의 원소를 함수에 입력받아서 일정한 규칙에 따라 공역상의 원소 중 하나를 출력하는 일종의 기계 같은 무언가였지만, 우리는 입력값과 함숫값의 순서쌍을 함수의 원소로서 볼 것이다. 다시 말해서 함수는 정의역과 공역의 곱모임의 부분모임인 것이며 함수 의 정의역이 , 공역이 일 때, 인 것이다. 덧붙이자면 함수도 그래프의 일종이다. 따라서 함수의 정의는 다음과 같다.


모임 (정의역) 의 모든 원소에 대해 그에 대응하는 모임 (공역) 의 원소가 유일하게 존재한다.[2]

이렇게 우리는 정의역 로부터 공역 에 대응하는 함수 또는 따위로 쓸 것이다.

그리고 여기에서 함수를 우리에게 익숙한 표현으로 고치면 함수 의 치역 에 대해 가 된다. 역시 도 마찬가지로 각각 정의역과 치역이며, 함수는 모임을 입력받아 모임을 출력한다.

혹 독자 가운데 우리가 배운 함수는 수를 입력받아 수를 출력하지 않던가요?라고 묻는다면, 함수에 대한 고정관념이 여전히 남아있는 것이다. 우리가 함수를 배울 때 흔히 드는 비유인 '식당에서 1인 1메뉴 시키기' 같은 경우에도 그 대응관계는 함수가 맞다. 다만 과목이 '학'이다 보니 수 넣고 수 먹기를 너무 많이 할 뿐이다. 또한 마찬가지로 우리가 배운 함수는 집합이 아니라 원소를 하나하나씩 넣는 게 아닌가요?라고 묻는 자도 마찬가지이다. 이들에게는 이 책의 첫번째 대단원의 첫번째 중단원을 다시 읽기를 권한다. 우리는 분명히 원소도 집합이라고 배웠기 때문이다. 납득될 만한 설명을 원한다면 아래 박스를 읽어보자.

첫번째 해설
정의역 에 속하는 임의의 원소를 라 할 때, 에 대응하는 공역의 원소를 라 하자. 가 모두 다른 집합의 원소가 될 수 있으니 그 자체만으로도 이미 집합이므로 라고 쓸 수 있다.

두번째 해설
정의역 에 속하는 임의의 원소를 라 하자. 그러면 이를 유일한 원소로 하는 모임 는 집합이다. 그리고 에 대응하는 공역의 원소를 라 할 때, 또한 집합이다.
그러니까 그 대응 관계를 만족시키는 함수 에 대해 라고 표현할 수 있는 것인데, 수학자들은 한원소 집합에 한해 모임이라는 것을 표시하는 중괄호를 생략하는 것을 허용하기로 약속하였다. 그러므로 이는 다시 로 쓸 수 있다.

마찬가지로 정의역의 한 원소로부터 공역의 한 원소로의 대응으로써 함수의 관계를 나타내고자 할 때에는 화살표의 시점에 짧은 수직선을 넣어 구분을 해 준다. 따라서 정의역 에 속하는 임의의 원소 , 에 대응하는 공역의 원소 에 대해, 함수 관계를 라 쓸 수 있으며, 이는 또한 와 동치다.

무한에 대하여[편집 | 원본 편집]

태초에 갈릴레오 갈릴레이가 있었다. 천문학자이자 수학자이기도 한 갈릴레이는 한 가지 특별한 것을 발견한다. 바로, 자연수와 제곱수가 일대일 대응이 된다는 것이다. 그러나 제곱수는 자연수의 부분집합이다. 전체는 부분보다 크다라는 것이 당연하게 받아들여졌던 시대인 만큼, 갈릴레이의 주장은 묵살되거나 역설이라는 이름으로 알려지게 되었다. 그러나 19세기에 수학자 게오르크 칸토어가 나서면서 갈릴레이의 주장이 역설이 아니라는 것이 밝혀진다.

칸토어는 두 집합의 크기가 같다는 것을 이렇게 정의하였다.

두 집합 사이에 일대일 대응을 할 수 있는 방법이 있다면, 두 집합의 크기(카디널리티, Cardinality)는 같다.

일단 유한의 경우를 먼저 생각해 보자. 가 있을 때, 우리는 두 집합 사이에 일대일 대응을 할 수 있는 방법이 6가지나 된다는 것을 알고 있다. 즉, 의 크기와 의 크기는 같은 것이다. 그런데 여기 또 다른 집합인 가 있다고 치자. 중 그 어느 것과도 일대일 대응이 안 된다. 측에서 원소가 하나 남기 때문이다. 즉, 의 크기는 보다 크다.

그러면 무한의 영역으로 넘어가 보자. 정말로 갈릴레이의 주장처럼 자연수와 제곱수의 크기는 서로 같은 것일까? 일단 앞서 말했듯이 제곱수는 자연수의 부분집합에 해당한다. 그런데, 임의의 자연수 에 대응하는 수로서 은 당연히 제곱수에 속한다. 그리고 제곱수인 에 대응하는 수로서 도 당연히 자연수에 속한다. 그러니까, 자연수와 제곱수는 일대일 대응이 된다. 정리하자면, 칸토어가 정의한 바에 따라서 자연수의 크기와 제곱수의 크기는 같은 것이다.

수학자들은 자연수 집합을 여러 방법으로 분할해 보면서 자연수 집합의 부분집합이면서 무한집합인 집합들은 자연수와 크기가 같다는 것을 알아내었고 수학자들은 그 크기에 (알레프 제로)라는 특별한 기호도 부여하였다. 그런데 우리가 지금 배우고 있는 것은 분명 '무한'에 관한 것인데 이들을 비교하는 데 '크기'라는 표현은 약간 어불성설로 보일 수도 있을 것이다. 그러므로, 우리는 여기서 '크기'라는 표현 대신 '농도'라 부를 것이다. 다만, 영어 표현은 여전히 카디널리티(Cardinality)라 한다.

우리는 더 나아가서 자연수 집합보다 더 커 보이는 것들을 자연수 집합과 비교할 것이다. 우선 정수와 자연수를 비교해 보자. 그러기 위해 우리는 일대일 대응이 되는 어떤 함수 의 존재를 확인하면 된다. 사실 자연수와 정수를 일대일 대응하는 방법도 여러 가지가 있지만, 여기서는 이해하기 쉬운 한 함수를 소개한다.

즉, 함수 이 짝수일 때 그 반값을 반환하고, 홀수일 때 거기에 1을 더한 뒤 반으로 나누고 음수 부호를 붙여 반환한다. 쉽게 말해서 저 함수에 짝수인 0, 2, 4, 6 등을 입력하면 함수는 그 반값인 0, 1, 2, 3 등을 출력한다. 그리고 홀수인 1, 3, 5, 7 등을 입력하면 일단 1을 더한 값인 2, 4, 6, 8 등이 되었다가 반으로 나뉜 1, 2, 3, 4 등이 되고, 다시 여기에 음수 부호를 붙여서 -1, -2, -3, -4 등으로 반환한다. 정리하면, 이 함수는 짝수를 입력하면 자연수를 반환하고 홀수를 입력하면 음의 정수를 반환한다. 자연수와 음의 정수는 서로소이며 그 합집합이 정수이므로, 자연수와 정수는 일대일 대응이 가능하다는 것을 알 수 있다. 따라서, 자연수의 크기와 정수의 크기는 같다.

그 다음은 자연수와 유리수를 비교할 것이다. 그런데 유리수는 그 정의상 (, 는 서로소인 자연수이며, 는 0이 아니다.)이므로 이것이 자연수로 이루어진 순서쌍 와 대응될 수 있다는 것은 당연하다. 그러니까 자연수 와 자연수로 이뤄진 순서쌍 이 일대일 대응이 되면 자연수와 유리수의 농도가 서로 같게 되는 것이다. 그렇다면, 자연수는 자연수로 구성된 순서쌍과 어떻게 일대일 대응이 될까? 그러기 위해서는 순서쌍 이 특정한 자연수에 대응될 수 있어야 한다. 여기서는 쉽게 생각하기 위해 자연수에서 0을 제외토록 하겠다. 그리고 직교 좌표계에 모든 성분이 자연수인 점들을 찍고, 자연수 에 대해 의 그래프와 만나는 순서대로 순서쌍에 순서를 부여하면 순서쌍 번째 순서쌍이 된다. 즉, 순서쌍 는 자연수 와 일대일 대응이 된다. 따라서 자연수와 유리수의 농도는 같다.

앞서서 의 농도가 서로 같다는 것을 확인했으니, 이와 같은 방법을 활용하면 , 등과도 농도가 같다는 것도 알 수 있다. 그렇다면 은 서로 농도가 같을까? 결론부터 말하자면, 그렇지 않더란 것이다! 이에 대해 설명하기 전에 자연수와 실수의 농도 비교를 먼저 한 뒤에 다시 언급하겠다.

자연수와 실수를 비교해 보자. 그 전에 실수 전체는 너무 막연하니, 실수와 농도가 같은 무언가를 찾아내 그것을 다시 자연수와 비교할 것이다. 예컨대, 함수 에 구간 을 넣으면 실수 전체의 구간 가 나오므로, 구간 와 실수 전체가 일대일 대응이 됨을 보였다. 따라서 우리는 자연수와 구간 사이의 농도를 비교할 것이다. 그리고 우리는 실수를 2진수로 표현할 것이다. 즉, 십진수인 는 이진수 와 같은 것이며, 십진수 도 마찬가지로 이진수 로 표현된다. 그렇다면 이제 구간 에 속하는 실수에다가 중복되지 않게 자연수로 순서를 매길 것이다. 예컨대 아래와 같다.

그리고 이런 실수를 생각해 보자.

다시 말해서 이 0이면 은 1이 되고, 이 1이면 은 0이 된다. 즉, 이므로 이어야 한다. 또한 이므로 이어야 한다. 결국, 이를 무한히 반복하면, 실수 은 함수 의 치역에 포함되지 않는다는 결론에 다다르게 된다. 즉, 실수와 자연수는 일대일 대응이 불가능하며, 실수의 농도가 더 크다는 것을 알 수 있다. 칸토어의 이 신박한 증명법은 '대각선 논법'이라고 불린다.

한편, 우리가 앞서서 실수를 2진수로 표현하였는데, 우리가 표현했던 방법에서 실수 이 튜플 과 일대일 대응이 가능하다는 것은 쉽게 알 수 있다. 그런데 성분의 개수는 자연수의 기수이고, 각 성분의 값은 0 또는 1이므로 이는 다시 와 일대일 대응이 된다는 것을 알 수 있다. 그러니까, 모든 실수는 와 일대일 대응이 된다는 것이다. 정리하자면, 우리는 을 증명한 것이다. 여기서 자연수와 일대일 대응이 되는 무한집합을 '셀 수 있는 집합' 또는 '가산 집합'이라 하고, 그렇지 않은 무한집합은 '셀 수 없는 집합' 또는 '불가산 집합'이라 한다. 한편, 를 부분집합으로 가지므로, 또한 불가산 집합으로, 과 일대일 대응이 안 된다.

그 다음은 , 을 비교할 것이다. 과 일대일 대응이 가능하다는 것은 쉽게 증명할 수 있다. 그런데 이므로, , 사이에는 이 성립한다. 그러므로 의 농도가 서로 같다면, 샌드위치 정리에 따라 의 농도도 서로 같아진다. 칸토어는 이번에도 기발한 방법으로 이 둘의 농도가 같다는 것을 증명하였다. 한 실수 에 대해 다음 두 실수로 이뤄진 순서쌍을 생각할 수 있다. , . 이렇게 하나의 실수는 두 실수로 이뤄진 순서쌍과 일대일 대응이 가능하다는 걸, 다시 말해서 이 서로 일대일 대응할 수 있다는 걸 보인 칸토어는 공포와 전율에 떨어 자신의 유일한 학문적 동지인 리하르트 데데킨트에게만 이 증명 사실을 알렸다고 전한다. 또한 이에 따라 실수와 복소수()는 일대일 대응이 가능하며, 같은 방법으로 의 농도가 같다는 것도 증명할 수 있다.

정리하자면, 여러 무한집합의 농도는 아래와 같다.

  • (가산 집합)
    • (자연수)
    • (유한 개의 성분을 가지며 모든 성분이 자연수인 튜플)
    • (거듭제곱수)
    • (짝수)
    • (홀수)
    • (음의 정수)
    • (정수)
    • (유리수)
  • (실수와 같은 농도의 불가산 집합)
    • (자연수의 멱집합)
    • (실수)
      • (무리수)
    • (유한 개의 성분을 가지며 모든 성분이 실수인 튜플)
    • (복소수)
  • 기타
    • (실수의 멱집합, )

※ 임의의 무한집합 에 대해, 라는 사실은 알프레트 타르스키가 증명하여 '타르스키 정리'라 하는데, 처음 논문을 출판할 때, 한 수학자는 자명하게 참인 것을 출판할 수 없다라고 주장했고, 다른 수학자는 자명하게 거짓인 것을 출판할 수 없다라고 주장했다. 결국 타르스키는 다른 저널을 찾아 겨우 논문을 출판했다고 한다.

그런데 보고 나니 무한집합의 농도 사이에는 무언가 규칙성이 있다. 바로 2를 밑으로, , 등을 지수로 하여 계속 탑을 쌓고 있는 것이다. 그래서 칸토어는 마침내 보다 크고 보다 작은 농도의 집합이 있는지에 대해 의문이 생겼다. 이를 '연속체 가설'이라 한다. 그러나 칸토어는 생전에 자신의 무한 연구를 제대로 인정받지 못했는데, 더욱이 자신의 스승이었던 레오폴트 크로네커나 유명한 수학자였던 앙리 푸앵카레 등의 공격에 너무 시달린 나머지 정신병에 걸려 미쳐 버리고 만다. 그래서 칸토어는 자신이 만든 연속체 가설을 결국 풀지 못했다. 칸토어의 뒷세대의 수학자인 다비트 힐베르트는 게오르크 칸토어를 존경하여 칸토어가 미쳐 풀지 못한 연속체 가설을 중요한 수학 문제로서 언급하였고, 이는 나중에 쿠르트 괴델과 폴 코언이 해결하였다. 괴델과 코언의 결론을 종합하자면, 연속체 가설의 진위를 구별하기 위해서는 다른 공리가 더 필요하다. 즉, 연속체 가설은 현재의 집합론 공리와는 독립적인 문제였던 것이다. 한편 괴델은 더 나아가서 수학적 공리계가 자신의 무모순성을 밝힐 수 없다는 점과, 참임에도 증명할 수 없는 문제의 존재를 증명하기도 하였다. 이로써 무한에 대한 긴 글을 마친다.

해석·미적분학[편집 | 원본 편집]

엡실론-델타 논법 및 다변수 함수의 연속과 극한[편집 | 원본 편집]

일변수 함수의 엡실론-델타 논법[편집 | 원본 편집]

엡실론-델타 논법( 논법)은 극한에 관한 엄밀하고 논리적인 증명이다. 《고등학생을 위한 즐거운 기본수학》에서 극한을 배우면서, 무한소()는 0도 아니고, 0이 아닌 것도 아닌, 이상한 취급을 받는 궤변적인 존재라 생각한 자가 상당히 많을 것이라 추측된다. 이는 무려 뉴턴이 유율법(극한을 이용한 미분법)을 발표했을 때에도 마찬가지였다. (물론 미분이 유용하다는 것을 부정하지는 않았다.) 그래서 프랑스의 수학자 코시가 이러한 궤변과 모순을 없애기 위해 엡실론-델타 논법을 만든 것이다. 다행스럽게도, 이 책을 통틀어서 엡실론-델타 논법이 언급되는 곳은 이 중단원 뿐이다.

엡실론-델타 논법에 따르면, 이란,

을 의미한다.

즉, 어떠한 양수 엡실론에 대해서도 이를 만족하는 또다른 양수 델타가 존재한다는 것이다. 그래서 보통 델타는 엡실론에 대한 함수로 표현하는 것이 좋다. 아래는 엡실론-델타 논법을 사용한 예시다.

증명하기
엡실론-델타 논법에 따라, 을 증명하면 된다. 이고, 이므로, 라면, 은 참이 된다. 따라서 는 참이다.

  1. 이라 한다.
  2. 에 대해,
  3. 따라서 는 참이다.

실제로 극한을 엡실론-델타 논법으로 증명하는 데는, 숫자로 차례가 매겨진 부분만 적어도 된다. 델타가 존재한다는 것이 중요하지, 왜 델타가 그런 꼴로 나왔는지는 관심사가 아닐 뿐더러, 위에서 적었듯이, 엡실론-델타 논법은 델타로 주어진 범위 안에 있는 에 대해 그 함숫값이 극한값의 엡실론 근방 이내에 있다는 것을 증명하는 것이기 때문이다. 아래는 간단해 보이는 극한을 증명하는 것이나, 앞선 증명보다는 어려운 편이다.

일 때, 증명하기
  1. 중 크지 않은 값으로 한다.
  2. ()이므로, 이다.
  3. 이고, 이므로, 이다.
  4. 이므로, 이다.
  5. 한편, 에, 을 대입하면, 가 된다.
  6. 에 대입하면, 가 되어, 증명이 끝난다.
일 때, 증명하기
  1. 중 가장 작은 값으로 한다.
    1. 일 때, 를 만족하는 값으로 한다.
    2. 일 때, 를 만족하는 값으로 한다.
    3. 일 때, ()를 만족하는 값으로 한다.
  2. 으로 쓸 수 있다.
  3. 이므로 을 증명한다.
  4. 의 정의와 그 대소 관계에 따라, 이고, 증명이 끝난다.

다변수 함수의 극한과 연속[편집 | 원본 편집]

다변수 함수는 함수에 두 개 이상의 변수가 들어가 하나의 함숫값을 출력하는 함수를 의미한다. 그러므로, 쉬운 이해를 위해 여기서는 주로 이변수 함수를 주로 예시로 들 것이다. 왜냐하면, 순서쌍(또는 튜플)에서 차원 하나를 추가하는 것은 1단원에서 말했듯이 쉬운 일이기 때문이다. 다르게 말하자면, 순서쌍에서 되는 것들 가운데 다수는 튜플에서도 된다.

이변수 함수에서의 극한에 대해 직관적으로 (엡실론-델타 논법을 쓰지 않고) 생각해 보자. 어느 점 이 있는데, 좌표계의 사방팔방에서 로 점차적으로 다가올 때, 그 점들에 해당하는 함숫값이 모두 하나의 특정한 값에 점차적으로 다가갈 때, 우리는 극한값이 존재한다고 하고, 그 특정한 값을 극한값이라 한다. 그리고 그 극한값과 함수값이 동일하면 이는 또한 연속인 것이다.

그렇다면 이번에는 엡실론-델타 논법을 써서 이변수 함수의 극한을 엄밀히 정의해 보자. 좌표계의 온갖 방향에서 한 점으로 다가온다는 점을 나타내기 위해, 일변수 함수의 엡실론-델타 논법에서 썼던 부분을 한 점과 다가오는 점 사이의 거리로 바꾸는 것이다. 그러니까, 로 점들이 다가온다고 할 때, 피타고라스의 정리를 이용하면, 이 부분은 로 고쳐 쓸 수 있다. 이와 같은 방식을 이용하면, 이변수 함수의 극한이란 아래와 같이 정의할 수 있다.

엡실론-델타 논법에 따르면, 이란,
을 의미한다.

이번엔 이변수 함수에서의 연속을 따지기 전, 일변수 함수에서의 연속을 다시 떠올려 보자.

에서 연속이다: 가 존재하여, 그 극한값이 와 같다.

이변수 함수에서의 연속도 이와 유사하다.

에서 연속이다: 가 존재하여, 그 극한값이 와 같다.

편미분과 전미분[편집 | 원본 편집]

편미분과 그 활용[편집 | 원본 편집]

편미분

편미분은 독립변수가 2개 이상인 다변수 함수에서, 각 독립변수 별로 그 변화량에 따라 함숫값이 어떻게 변화하는지를 알아보는 방법이다. 편미분이라 하면 간혹 같은 함수를 푸는 방법을 말하는 학생도 있지만, 여기서 가 서로 독립이라고 말할 수 없기에 편미분이라 말하기에는 영 찝찝하다. 다변수 함수는 원래 와 같이 표현된다.

다변수 함수 에 대해 각각 편미분하려면, 각 변수를 제외한 나머지 변수는 모두 상수로 취급해야 한다. 즉, 에 대해 편미분 하려면 으로, 에 대해 편미분 하려면 으로 계산하면 된다. 그리고 편미분을 통한 도함수는 편도함수라 하는데, 이는 , 로 표기한다.

예컨대, 라면, 이를 에 대해 편미분한 결과는 , 에 대해 편미분한 결과는 로 된다.

음함수 미분법

음함수의 미분법은 그 유용성 덕에 이미 《고등학생을 위한 즐거운 미적분》에서 배운 내용이지만, 한 변수가 다른 변수의 함수꼴로 될 수 있다는 데서 의문을 가진 학생이 많았을 것이라고 생각된다. 그래서, 여기서는 음함수 미분법을 편미분으로 할 수 있다는 것을 배울 것이다.

일단, 를 2변수 함수라고 하자. 그러면, 이 되고, 주어진 음함수는인 경우를 가리키는 것으로 볼 수 있다. 어떤 점 에 대해 , 라면, 으로 나타낼 수 있다. 한편, , 이기에 이다. 따라서, 이다. 여기서 의 형태가 변수 를 변수 에 대해 합성함수 미분법을 쓴 것과 같은 형태이기에 음함수를 미분할 때에는 한 변수를 다른 변수의 함수로 여기고, 이를 합성함수 미분법으로 구하는 방법을 쓰면 된다.

예컨대, 음함수 ()을 에 대해 미분하면 이 되고, 이므로, 이 된다. 이에 관해서는 적분 단원에서, 우리가 적분을 할 수 있는 함수는 굉장히 제한적이고 그 방법도 복잡하다는 것을 말할 때에 다시 언급할 예정이다.

전미분[편집 | 원본 편집]

극방정식과 미적분[편집 | 원본 편집]

오일러 공식과 쌍곡선 함수[편집 | 원본 편집]

다중적분[편집 | 원본 편집]

각주[편집 | 원본 편집]

  1. 혹 생각이 깊은 학생들은, '그렇다면, 고유모임이라 불리는 것들의 모임도 존재할 수 없는가?'라고 생각할 수 있다. 왜냐하면, '고유모임'은 어떠한 모임에도 속할 수 없는 모임들을 특별히 가리키기 위해 이름을 붙인 것이므로, '면천 박씨의 모임'처럼 '고유모임'이라고 이름 붙은 것의 모임을 떠올릴 수 있기 때문이다. 뭐, 결론부터 말하자면 답은 '그렇다'이다. '모든 고유모임의 모임'을 정의하기 위해 고유모임의 정의에서 예외를 인정하게 되면, 이후에 서술할 집합의 공리로부터 '모든 고유모임의 모임' 또한 고유모임이라는 결론이 도출되어 결국에는 자기 안에 자기 자신이 부분으로서 포함되어 무한루프에 빠지므로, 현대의 일반적인 집합론에 어긋나기 때문이다.
  2. 유일하게 존재한다(Uniquely exists)라는 뜻이다.