고등학생을 위한 즐거운 기본수학

목적

《기본수학》이 비록 수학 교과서 가운데 가장 늦게 (심지어 《고등학생을 위한 즐거운 고급수학》보다도 늦게) 만들어지기는 했으나, 《기본수학》은 중학교에서 배운 내용을 심화하고 여타 다른 수학 교과서의 내용을 충분히 이해할 만한 지식을 쌓기 위해 필요한 교과서이다. 그럼에도 불구하고 필요한 내용만 압축해서 빠르게 학습하는 것을 목적으로 하였기에 현행 교육과정의 고등학교 1학년 수학 교과서와 심화수학I, 기하의 내용 일부를 혼합하였으며, 논증과 이산수학에 관한 내용은 《고등학생을 위한 즐거운 이산수학》으로 나누어서 《기본수학》과 동시에 학습하는 것을 골자로 한다.

수식

여러 가지 방정식과 부등식

삼차방정식의 해

비록 중학교에서 이차방정식에 대한 근의 공식은 배웠어도 삼차 이상에 대해서는 인수 분해를 통해서만 해를 구했을 뿐, 근의 공식을 배우지는 않았을 것이다. 실제로도 삼차 이상인 고차방정식에 대한 해를 구할 일은 거의 없다. 지금 이 글을 읽는 자의 진로가 비록 이공계일지라도 말이다! 그럼에도 불구하고 여기서 삼차방정식의 해법을 적는 이유는, 수학사에 대한 이해를 심어주어 이후에 나올 복소수에 관한 이야기를 매끄럽게 풀어내고, 독자들의 증명 능력 및 방법에 어느 정도 영감을 심어주기 위함이다.

중세에서 근대로 넘어가기 시작할 무렵의 유럽에서는, 지금 미미미누가 하는 것처럼 수학 문제를 풀고 돈 받는 게 유행이었다. 원래 중세시대만 해도 삼차방정식을 풀 방법은 없는 것처럼 여겨졌지만, 이탈리아의 수학자 델 페로는 특정 형태에 한해서 삼차방정식을 푸는 방법을 찾아내었고, 다른 수학자인 타르탈리아는 다른 형태의 삼차방정식의 해법과 델 페로의 방법을 독립적으로 찾아내었다. 이 소식을 들은 또다른 카르다노는 타르탈리아를 부추겨 그 특정 형태의 삼차방정식에 대한 해법을 알아내었고, 최종적으로 일반적인 형태의 삼차방정식에 대한 근의 공식을 완성하였다. 이러한 역사적 맥락을 그대로 따라가서 삼차방정식에 대한 근의 공식을 어떻게 찾아냈는지를 살펴보면 아래와 같다.

델 페로는 $x^{3}+px+q=0$의 꼴에 대한 해법을, 타르탈리아는 이와 더불어 $x^{3}+px^{2}+q=0$의 해법을 알아 냈지만, 우리는 델 페로의 것만 우선 찾아낼 것이다.

우리는 중학교에서 $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$을 인수분해하면 $(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$로 됨을 배웠다. 이를 $x$에 대해 정리하면 $x^{3}+(-3yz)x+(y^{3}+z^{3})=(x+y+z)(x^{2}-(y+z)x+(y^{2}-yz+z^{2}))$로 된다.

즉, 우리가 여기서 구해야 하는 해는 $x=-y-z$이고, $p=-3yz,q=y^{3}+z^{3}$이므로, $p$와 $q$를 이용해 $y$와 $z$를 구하여 $x$를 구하면 되는 것이다.

$q=y^{3}+z^{3}$이므로 $u=y^{3},v=z^{3}$으로 하여 $q=u+v$이라 한다면, $p=-3yz$에서도 이에 맞추기 위해 적절한 연산을 해주자면 $\left(-{p \over 3}\right)^{3}=y^{3}z^{3}=uv$가 된다. 이를 통해 다시 $u$와 $v$를 구하고자 한다면 $\left(-{p \over 3}\right)^{3}=uv$와 $q=u+v$를 이용하여, $u$와 $v$를 근으로 갖는 $t$에 대한 이차방정식 $t^{2}-(u+v)t+uv=0$은 $t^{2}-qt+\left(-{p \over 3}\right)^{3}=0$로 쓸 수 있고, $u$와 $v$는 ${q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}$로 구할 수 있다.

따라서 $u={q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}$, $v={q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}$으로 하면 $-y={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$, $-z={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$로 된다.

마침내, $x=-y-z$이므로 $x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$이다.

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그리고 카르다노는 삼차방정식의 해를 평행이동시킴으로써 일반적 형태의 삼차방정식을 $x^{3}+px+q=0$의 꼴로 변환시키고 이를 다시 원래대로 평행이동함으로써 삼차방정식의 해를 구할 수 있게 되었다.

일반적인 형태의 삼차방정식 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a\not =0)$에 대해, 식을 $a$에 대해 나눠주면 $x^{3}+{b \over a}x^{2}+{c \over a}x+{d \over a}=0$이 된다. 여기서 $x=y-{b \over 3a}$를 대입하면 식은 또 $y^{3}+\left({3ac-b^{2} \over 3a^{2}}\right)y+\left({2b^{3}-9abc+27a^{2}d \over 27a^{3}}\right)=0$로 된다. 이에 따라 $y$의 한 근은 $y={1 \over 3a}\left({\sqrt[{3}]{-27a^{2}d-9abc+2b^{3}-3{\sqrt {27a^{4}d^{2}-18a^{3}bcd+3a^{3}c^{3}+3a^{2}b^{3}d-a^{2}b^{2}c^{2}}} \over 2}}+{\sqrt[{3}]{-27a^{2}d-9abc+2b^{3}+3{\sqrt {27a^{4}d^{2}-18a^{3}bcd+3a^{3}c^{3}+3a^{2}b^{3}d-a^{2}b^{2}c^{2}}} \over 2}}\right)$이다.

따라서, $x$의 한 근은 $x=-{b \over 3a}+{1 \over 3a}\left({\sqrt[{3}]{-27a^{2}d-9abc+2b^{3}-3{\sqrt {27a^{4}d^{2}-18a^{3}bcd+3a^{3}c^{3}+3a^{2}b^{3}d-a^{2}b^{2}c^{2}}} \over 2}}+{\sqrt[{3}]{-27a^{2}d-9abc+2b^{3}+3{\sqrt {27a^{4}d^{2}-18a^{3}bcd+3a^{3}c^{3}+3a^{2}b^{3}d-a^{2}b^{2}c^{2}}} \over 2}}\right)$이다.

그러나 삼차방정식은 $(x-1)(x-2)(x-3)=0$처럼 근이 셋이나 나올 때도 있으나 위 공식을 쓰면 그 가운데 오직 하나만 구할 수 있다. 나머지 근을 구하는 방법은 복소수를 배우고서 언급할 것이다.

분수방정식

우리는 초등학교나 중학교에서 속력을 거리를 시간으로 나눔으로써 정의하였다. 그러니까, 식을 적절히 이항한다면 시간은 거리를 속력으로 나눠서 다시 구할 수 있는 것이다. 그렇기 때문에 우리는 다음과 같은 문제에 직면할 수도 있게 된다.

강물의 속력은 $x\mathrm {km/h}$, 흐르지 않는 물 위에서 배가 이동하는 속력은 $10\mathrm {km/h}$이다. $15\mathrm {km/h}$의 강을 거슬러 올라갈 때 걸린 시간이 같은 거리를 강을 따라갈 때보다 5시간 더 걸렸다면, 시간에 대해 식을 쓸 때, ${15 \over 10+x}+5={15 \over 10-x}$이 된다. 우리는 이러한 형태의 방정식에서 해를 찾는 법을 배울 것이다.

이렇게 미지수가 분모에 위치한 방정식을 분수방정식이라 한다. 분수방정식을 풀 때에는 분모의 최소공배수를 곱하여 모든 항에서 분수를 제거하여 쉬운 방정식으로 고치는 것이 좋다. 예컨대, 예시로 나온 ${15 \over 10+x}+5={15 \over 10-x}$에서는 분모들의 공약수가 1 뿐이므로, 식의 양변에 최소공배수인 $100-x^{2}$를 곱하여 $150-15x+500-5x^{2}=150+15x$로 만들고 모든 항을 한쪽으로 이항하고 계수를 최대공약수인 5로 나누면 $-x^{2}-6x+100=0$이라는 이차방정식이 된다. 이 방정식의 해는 $-3\pm {\sqrt {109}}$가 나오는데, 여기서의 $x$는 속력이기 때문에 음수일 수 없다. 따라서 $x={\sqrt {109}}-3$이다.

그럼 이번엔 다른 문제를 풀어 보자. $x$에 대한 분수방정식 ${x \over x+1}+{1 \over x^{2}+x}={1 \over x}$의 해를 구하자. 분모의 최소공배수가 $x^{2}+x$이므로 이를 식에 곱한 뒤 식을 정리하면 $x^{2}-x=0$이 되어 $x=0$ 또는 $x=1$이 도출된다. 그러나 $x=0$은 방정식의 해가 될 수 없는데, 이 경우에는 분모가 0이 되게 하기 때문이다. 이렇게 분수방정식을 변형하여 얻은 다항방정식의 근 중 분수방정식의 근이 될 수 없는 것을 '무연근'(無緣根)이라 한다.

무연근이 발생하는 원인은 다음과 같다. $x$에 대한 분수방정식을 $A(x)=B(x)$로 일반화 하자. 그리고 여기서 $L(x)$는 LCM, 즉 $A(x)$와 $B(x)$에 있는 분모들의 최소공배수이다. 즉, 우리가 분수방정식을 다항방정식으로 바꾸기 위해서는 식의 양변에 $L(x)$을 곱하여 $L(x)A(x)=L(x)B(x)$로 바꾸게 되는데, 이 경우 방정식의 해는 $A(x)=B(x)$ 뿐만이 아니라 $L(x)=0$도 존재하게 된다. 즉, 무연근은 $A(x)=B(x)$을 만족하지 않는 $L(x)=0$의 해 때문에 발생하게 된다.

무리방정식

무리방정식은 미지수가 근호 안에 위치한 방정식을 의미한다. 우리가 분수방정식을 다항방정식으로 만들어 풀었던 것처럼 무리방정식을 풀 때에는 식을 적절히 이항하고, 근호가 없어지도록 제곱 등을 취한다. 이렇게 무리방정식을 다항방정식으로 바꾸고서는 해를 찾아 그 해가 무연근인지 아닌지를 판별하여 최종적으로 근을 구하면 된다. 무리방정식에서 무연근이 발생하는 이유도 분수방정식과 유사한데, $x$에 대한 무리방정식을 $A(x)=B(x)$로 일반화 하고 여기서 근호를 없앨 수 있도록 하는 지수를 $k$라 하면 다항방정식은 $A(x)^{k}=B(x)^{k}$로 된다. 이 방정식의 해는 $A(x)=B(x)$를 만족하는 해 외에도 $A(x)^{k-1}+A(x)^{k-2}B(x)+\cdots +A(x)B(x)^{k-2}+B(x)^{k-1}=0$을 만족하는 해도 있다.

고차부등식

분수부등식

무리부등식

복소수와 복소평면

복소수

우리는 중학교에서 실수가 수직선 상의 어느 점에 각각 대응된다는 것을 배웠다. 그런데 우리는 이제부터 수직선 바깥에 있는 점에 대응되는 수에 대해 논하기 시작할 것이다. 이런 논의가 나오게 된 계기는 다름 아니라 맨 앞에서 말한 삼차방정식에 대한 근의 공식 때문이다. $x$에 대한 삼차방정식 $x^{3}-15x-4=0$을 델 페로의 방법으로 풀려면 $x={\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}$가 나온다. 비록 $x=4$, $x=-2\pm {\sqrt {3}}$이라는 실근이 셋이나 있음에도 말이다! 결국 카르다노는 탐탁잖아 하면서 자신의 책에 '허수'라는 것을 언급하였다. 허수란 수직선상에 실재하지 않는 허구의 수라는 의미로 붙인 이름이다.

허수에서 기본단위는 $i$라 하며, 복소수는 실수와 허수를 아우르는 명칭으로 두 실수 $a,b$에 대해 모든 복소수는 $a+bi$로 표현 가능하다. $i^{2}=-1$으로 정의된다. 그러니까 $i$를 거듭 곱하면 $i$, $-1$, $-i$, $1$이 순환된다. 이를 이용하여 $x={\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}$을 풀려고 하면, $(a+bi)^{3}=2+11i,(a-bi)^{3}=2-11i$가 되어 $a^{3}-3ab^{2}=2,3a^{2}b-b^{3}=11$이 된다. 마침내 이 연립방정식을 풀면 $a=2,b=1$이 되어 $x=4$가 나온다.

그럼 이번에는 $x^{3}-1=0$의 해를 찾아보자. 어차피 인수분해를 하든 델 페로의 방법을 쓰든 $x=1$ 쯤은 이미 쉽게 구할 수 있으니, 허수 없이 구할 수 없었던 $x^{2}+x+1=0$의 해를 구하자면 $x={-1\pm {\sqrt {3}}i \over 2}$이다. 그럼 이제 이를 이용하여 삼차방정식의 근의 공식을 완성하면 다음과 같다. $x_{k}=-{b \over 3a}+{1 \over 3a}\left(\left({-1+{\sqrt {3}}i \over 2}\right)^{k}{\sqrt[{3}]{-27a^{2}d-9abc+2b^{3}-3{\sqrt {27a^{4}d^{2}-18a^{3}bcd+3a^{3}c^{3}+3a^{2}b^{3}d-a^{2}b^{2}c^{2}}} \over 2}}+\left({-1-{\sqrt {3}}i \over 2}\right)^{k}{\sqrt[{3}]{-27a^{2}d-9abc+2b^{3}+3{\sqrt {27a^{4}d^{2}-18a^{3}bcd+3a^{3}c^{3}+3a^{2}b^{3}d-a^{2}b^{2}c^{2}}} \over 2}}\right),k\in \left\{0,1,2\right\}$