고등학생을 위한 즐거운 기하와 벡터

목적

《기하와 벡터》는 벡터 문제를 더 쉽게 풀게 할 논증기하 지식과 입체도형에 대한 해석기하학, 벡터와 행렬에 대해 기초적인 내용을 학습함과 동시에, 진로에 관해서는 주로 컴퓨터그래픽 제작에 대해 이해를 돕기 위한 책이다. 물론 디자인 툴이 알아서 다 해줄 테지만, 기본 원리를 이해하는 것은 나쁘지 않을 것이다. 《고등학생을 위한 즐거운 미적분》에도 게임 제작을 위한 몇 가지 팁이 있기는 하지만, 몇 가지는 물리 엔진이 거의 다 알아서 해줄 것인 것처럼 말이다.

논증기하

메넬라오스 정리

대한수학회에는 '메르카토르 정리'로 되어 있다. 지도 제작자가 이것과 무슨 연관인지는 모른다. 역대 기하 관련 교과서에 메넬라오스 정리에 대한 언급이 있었는지는 잘 모르겠지만, 알아두면 수능 기하에서 벡터 문제를 풀 때 꽤나 유용할 것이다.

체바 정리

메넬라오스 정리를 두 번 사용하면 체바 정리가 딸려 나온다. 외우는 것도 메넬라오스 정리에 비해 간단하고 메넬라오스 정리만큼 수능 기하에서 유용할 것이다. (그러나 난 지금 적당한 그림 파일을 못 구해서 설명을 못 하고 있다!)

이차곡선의 성질

내용 자체는 기하고 현행 교과과정에도 기하에 있지만, 《기본수학》에 넣을지 《미적분》에 넣을지 고민했다. 이차곡선 언급한 김에 같이 말하면 좋긴 한데 성질을 설명하기 위해 해석기하를 들이밀려면 미적분이 필요했기 때문이다. 그래서 여기에 넣되 논증기하로 설명하기로 했다. 수학과 5개 교과를 통틀어 논증기하를 언급하는 곳이 여기 뿐이라 여기 이렇게 들어가게 되었다.

사인 법칙과 코사인 법칙

사인 법칙과 코사인 법칙은 원과 그에 내접하는 삼각형에 관한 법칙이다. 예컨대, 유적지를 발굴하다가 경주 얼굴무늬 수막새같이 깨져 있는 원형의 유물을 발견했다고 치자. 파손된 부위가 작으면 모르지만 절반 이상이 나가 떨어졌다면 반지름을 가늠하기 어렵다. 사인 법칙은 이런 경우에 쓰인다.

코사인 법칙은 이전만 해도 '제1 코사인 법칙'과 '제2 코사인 법칙'으로 되어 있었다. 그러나 요즘 학교에서는 제2 코사인 법칙만을 코사인 법칙으로 가르친다. 아무래도 제1 코사인 법칙과 제2 코사인 법칙이 동치라서 그런 듯하다.

해석기하

파블로 디에고 호세 프란시스코 데 파울라 후안 네포무세노 마리아 데 로스 레메디오스 시프리아노 데 라 산티시마 트리니다드 루이스 이 피카소와 다비트 힐베르트가 카페하우스에서 대화를 하였다. 파블로 디에고 호세 프란시스코 데 파울라 후안 네포무세노 마리아 데 로스 레메디오스 시프리아노 데 라 산티시마 트리니다드 루이스 이 피카소가 다비트 힐베르트에게 자신만의 새로운 화풍을 적용시킨 다비트 힐베르트의 초상화를 선물했다. 다비트 힐베르트는 적잖이 당황한 표정으로 파블로 디에고 호세 프란시스코 데 파울라 후안 네포무세노 마리아 데 로스 레메디오스 시프리아노 데 라 산티시마 트리니다드 루이스 이 피카소에게 물었다.
"이게 정말 제 초상화입니까?"
파블로 디에고 호세 프란시스코 데 파울라 후안 네포무세노 마리아 데 로스 레메디오스 시프리아노 데 라 산티시마 트리니다드 루이스 이 피카소는 태연히 답했다.
"많이 당황하실 줄로 알고 있었습니다. 저는 사물을 더 이상 보이는 그대로가 아니라 어린아이다운 시각에서 단순히 입방체(cube)의 모임으로 표현하고자 했습니다. 저는 이런 스타일을 큐비즘(cubism)이라 부르기로 했습니다."
"글쎄요...? 2차원 평면 위의 다각형이라면 모를까..."
다비트 힐베르트가 말했다.
"3차원 이상의 도형을 유한 번 나눠서 같은 부피의 입방체를 만들 수 없다는 것이 최근에 증명되었거든요."
파블로 디에고 호세 프란시스코 데 파울라 후안 네포무세노 마리아 데 로스 레메디오스 시프리아노 데 라 산티시마 트리니다드 루이스 이 피카소가 말했다.
"그런 건 내게 중요하지 않소. 나는 어린아이다운 시각으로 사물을 재창조할 뿐이오."

― 방금 막 지어낸 이야기

평면

'평면'(平面, plane)에 대한 설명은 '평평한 면' 정도면 충분하지 않을까? 유일한 평면이 결정될 필요조건은 아래와 같다.

1. 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점이 있다.
2. 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 있다.
3. 평행한 두 직선이 있다.
4. 한 점에서 만나는 두 직선이 있다.

한편, 평면이 결정될 필요충분조건은 '임의의 평행이 아닌 서로 다른 세 직선이 있을 때, 이 직선들이 이루는 삼각형의 내각의 합이 2π이다.'이다. 위의 4개 조건들은 그 조건을 만족하는 곡면이 존재할 수 있기 때문이다.

평면의 방정식은 $ax+by+cz+d=0$(a, b, c, d는 상수) 꼴로 나타내며, 이때 a, b, c 중 적어도 하나는 0이 아니어야 한다. a, b, c가 모두 0일 경우, $d=0$이라는 무의미한 식이 되기 때문이다.

공간도형

구와 타원체

'구'(球, sphere)에 대해 배우기 앞서, 우리는 중학교에서 '원'을 배우지 않았나? 원의 정의가 '평면상의 한 점으로부터 일정한 거리만큼 떨어진 점들의 집합'이듯이, '구'는 '공간상의 한 점으로부터 일정한 거리만큼 떨어진 점들의 집합'이다. 평면상의 두 점 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ 사이의 거리가 '피타고라스 정리'에 따라 ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$로 계산되듯이, 공간상의 두 점 $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})$ 사이의 거리는 ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}$로 계산된다. 이는 변수가 늘어나도 같은 방법으로 식이 늘어난다.

따라서 3차원 구의 방정식은 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$이며, 구의 중심은 (a, b, c), 반지름은 r이다. 원에서의 성질은 구에서도 대개 통한다. 한편, 컴퓨터그래픽에서 구를 구현할 때에는 각 점을 일일이 계산하면 속도가 느려지기 때문에 특별한 정점들을 미리 정해두고 그 점들을 이은 다각형들로 표현한다. 이는 다른 곡면들도 마찬가지이다.

위에서 설명한 구의 방정식에서는 각각의 항에 계수가 모두 동일하여 어느 방향에서든지 거리가 일정하다. 그러나 각 항에 계수를 각각 다르게 함으로써 단면이 타원이 되도록 할 수 있다. 우리는 그런 도형을 타원체라고 한다. 타원체는 주로 지구 등의 행성이 띄고 있는 형태로 각각의 반지름 길이가 다르며, 식의 형태는 말 그대로 타원의 방정식과 유사하나 $z$에 관한 항이 추가된 형태이다.

따라서 방정식은 ${(x-a)^{2} \over r_{x}^{2}}+{(y-b)^{2} \over r_{y}^{2}}+{(z-c)^{2} \over r_{z}^{2}}=1$로 표현된다. 기본수학에서 배운 타원의 방정식과 유사하게 타원체의 중심은 $(a,b,c)$이고 각 항의 분모는 반지름의 제곱을 의미한다.

극좌표계와 구면좌표계

우리가 지금껏 썼던 좌표계는 직교좌표계로, $x$축과 $y$축이 직교하는 평면이나 여기에 $z$축이 추가된 공간 위에서 각 축에 해당하는 위치를 이용하여 최종 위치를 나타낸다. 그러나, 경우에 따라서는 이 방법 보다는 반지름과 동경을 이용하는 편이 더 편한 때가 있다. 특히 회전에 관한 문제나, 거리와 동경이 함수 관계에 있거나, 거리에만 유관한 것에 관해 계산할 때, 거리는 일정한데 각도만 달라질 때, 유용하게 쓰일 수 있다. 예컨대, 2009 개정 교육과정에서는 물리II에서 슈뢰딩거 방정식과 s 오비탈을 가르치면서 이것도 덤으로 가르치기도 하였고 (지금은 슈뢰딩거 방정식을 가르치지 않는다. 이유는 개념부터가 너무 어렵고 가르친 적도 없는 편미분이 들어가기에 계산 문제를 낼 수도 없기 때문이다.), 지구과학에서는 지금도 가르치고 있다.

극좌표계는 2차원 좌표계로, 반지름 $r$과 동경 $\theta$로 구성되어 있고 $(r,\theta )$로 표시한다. 여기서 동경의 기준은 직교 좌표계의 $+x$ 방향이다. 극좌표와 직교좌표를 서로 변환하려면 다음과 같이 한다.

직교좌표계를 극좌표계로

${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta ={y \over x}\end{cases}}$

$\theta$는 $x$좌표와 $y$좌표의 부호와 $\theta$의 주어진 범위에 따라 다른 값이 나올 수 있으니 주의한다. $\theta$의 범위는 $[0,2\pi )$나 $(-\pi ,\pi ]$가 있는데, 어느 것을 쓰든 무방하다.

극좌표계를 직교좌표계로

${\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}}$

구면좌표계는 극좌표계를 3차원으로 확장한 것 중 하나로, 반지름 $r$과 위도 $\theta$, 경도 $\phi$로 구성되어 있고 $(r,\theta ,\phi )$로 표시한다. 자전축을 $z$축으로 할 때, $z$축의 양의 방향으로부터 원점과 주어진 점이 이루는 직선까지의 각을 위도라 한다. 이는 지리학에서 쓰는 지리좌표계와 위도의 정의가 다르니 잘 구분토록 한다. (지리좌표계는 $xy$평면을 기준으로 한다.) 한편, 경도는 $x$축의 양의 방향으로부터 원점과 주어진 점이 이루는 직선까지의 각을 가리킨다. 구면좌표와 직교좌표를 서로 변환하려면 다음과 같이 한다.

직교좌표계를 구면좌표계로

${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta =\arccos {z \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\\tan \phi ={y \over x}\end{cases}}$

구면좌표계를 직교좌표계로

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}$

이는 행렬 단원에서 배울 도형의 회전에서 요긴하게 쓰일 예정이다.

벡터

국문학을 전공하는 대학생이 설렁탕을 주문해다가 먹고 있었다. 그 옆에는 수학을 전공하는 친구가 있었다. 수학을 전공하는 대학생이 갑자기 말했다.
"뱉어."
국문학을 전공하는 대학생은 이를 무시하고 계속 국밥을 먹고 있었다.
"뱉어."
그 대학생은 도대체 왜 그러나 싶어서 입 안에서 씹고 있던 것을 뱉었다. 수학을 전공하는 대학생이 또 말했다.
"숟갈 놔."
국문학을 전공하는 대학생은 숟가락도 내려놨다. 수학을 전공하는 대학생이 더 큰 소리로 말했다.
"뱉어 그리고 숟갈 놔!"
국문학을 전공하는 대학생은 어이가 없어서 물었다.
"너 왜 그러냐?"
그러자 수학을 전공하는 대학생이 말했다.
"미분기하학에서는 벡터랑 스칼라가 중요하더라."
"..."
국문학을 전공하는 대학생은 숟가락으로 그 친구를 졸라 팼다. 그리고 설렁탕 같은 걸 끼얹고는 이렇게 말했다.
"왜 설렁탕을 사왔는데 먹지를 못 하니!"

― 이과 유머

벡터와 스칼라

고등학교 과정에서 '벡터'(vector)라 하면, 물리학적인 직관으로서 '크기와 방향을 모두 가진 물리량' 정도면 어느 정도 됐다. 반대로 '스칼라'(scala)는 '크기만 가지는 물리량'을 의미한다. 혹여나 물리학을 배웠다면 이게 무슨 뜻인지 이해할 수 있을 것이다. 예컨대, 크기와 방향을 모두 가진 속도, 힘, 가속도, 토크, 변위 등은 모두 벡터이고, 크기만 갖는 속력, 에너지, 이동거리, 온도 등은 스칼라에 해당한다.

벡터의 성분

벡터는 ${\vec {a}}=(x,y,z)$, ${\vec {AB}}$ 같은 꼴로 나타내며, 쉼표로 나뉜 부분은 벡터의 성분, 성분의 수를 벡터의 차원이라 한다. 벡터의 길이(크기)는 피타고라스 정리를 이용하여 구하며, 길이가 1인 벡터를 단위벡터 혹은 기본벡터, 기저벡터라고 한다. 벡터의 모든 성분이 0이라서 길이가 0일 때는 방향이 특정되지 않지만 그래도 벡터로 인정하여 '영벡터'라고 한다.

물리학적이지는 않지만, 텍스트를 벡터로 나타내기도 한다. 이를 '텍스트 벡터화'라고 한다. 쉽게 말해, 벡터의 각 성분에 차례대로 단어를 겹치지 않게 대입하고 문장이나 문서에 있는 단어들을 빈도수에 따라 벡터로 표시하는 것이다. 이는 글의 중심 내용을 파악하는 인공지능의 개발에 쓰인다.

벡터의 연산

합과 차

두 벡터 ${\vec {OA}}:(x_{1},y_{1},z_{1})$, ${\vec {AB}}:(x_{2},y_{2},z_{2})$가 주어져 있을 때, ${\vec {OA}}$는 점 A를 끝점으로, ${\vec {AB}}$는 점 A를 시작점으로 갖고 있으므로 이 둘을 합하게 되면 ${\vec {OB}}$로 쓸 수 있다. 성분으로 표현하여 계산하면 각 성분에 대해 따로 연산을 해서 ${\vec {OB}}:(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$로 된다.

차도 마찬가지로 두 벡터 ${\vec {OA}}:(x_{1},y_{1},z_{1})$, ${\vec {OB}}:(x_{2},y_{2},z_{2})$가 주어져 있을 때, 두 벡터는 모두 점 O를 시작점으로 갖고 있으므로 이 둘을 차는 ${\vec {OB}}-{\vec {OA}}={\vec {AB}}$($\because {\vec {OA}}+{\vec {AB}}={\vec {OB}}$)로 쓸 수 있다. 성분으로 표현하여 계산하면 각 성분에 대해 따로 연산을 해서 ${\vec {AB}}:(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$로 된다.

위와 같이, 두 벡터 ${\vec {a}}:(x_{1},y_{1},z_{1}),{\vec {b}}:(x_{2},y_{2},z_{2})$가 주어져 있을 때, 이 둘의 합 또는 차는 각 성분에 대해 각각 더하거나 빼면 된다. 따라서, ${\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{1}\pm x_{2},y_{1}\pm y_{2},z_{1}\pm z_{2})$로 계산할 수 있다.

스칼라배

실숫값을 갖는 스칼라 $k$에 대해, ${\vec {a}}:(x,y,z)$에 k배를 한 벡터는 각 성분에다가도 각각 k배를 하여 $k{\vec {a}}:(kx,ky,kz)$로 된다. 실수를 곱하였기에 길이만 k배가 되었을 뿐이며, k가 0이 아닐 때에 한하여 방향은 변하지 않는다.

혹 복소숫값 스칼라는 안 되냐고 한다면, "그건 나중에 생각해도 늦지 않는다." 여기 바깥으로 나가게 된다면 성분도 복소숫값을 갖기는 한데 미리 머리 아플 필요는 없지 않은가?

내적과 그 활용

내적

'내적'(內積, inner product)는 주로 두 벡터의 방향이 얼마나 일치하는지를 알아보기 위해 쓰이는 연산이다. 연산 기호는 가운뎃점이며 이 때문에 '도트곱'이라고도 하고, 결괏값이 스칼라이므로 '스칼라곱'이라고도 한다. 두 벡터 ${\vec {a}}$와 ${\vec {b}}$의 내적은 ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\mid {\vec {a}}\mid \mid {\vec {b}}\mid \cos \theta$($\theta$는 두 벡터가 이루는 각)으로 계산된다.

또한 벡터가 ${\vec {a}}:(x_{1},y_{1},z_{1}),{\vec {b}}:(x_{2},y_{2},z_{2})$로 주어져 있다면, ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$로 더 쉽게 계산할 수 있다. 물론 평면벡터라면 뒤의 z부분만 떼어 계산하면 된다. 이에 대한 증명은 고등학생을 위한 즐거운 기본수학의 코사인 법칙을 이용해 스스로 증명토록 하자.

한편, 내적 계산에서는 평범한 식처럼 교환법칙, 분배법칙이 성립한다. 따라서 ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$, $({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}+{\vec {d}})={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {d}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {d}}$가 성립한다.

내적의 활용

내적은 알짜힘(${\vec {F}}$)이 변위(${\vec {s}}$)만큼 한 일(${\textit {W}}={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=\mid {\vec {F}}\mid \mid {\vec {s}}\mid \cos \theta$)을 계산하는데 쓰인다. 또한, 내적을 통해 두 벡터가 이루는 각을 코사인 값($\cos \theta ={{\vec {a}}\cdot {\vec {b}} \over \mid {\vec {a}}\mid \mid {\vec {b}}\mid }$, $\theta$는 두 벡터가 이루는 각)으로 알 수 있으므로, 이상적인 빛 반사를 표현하기 위해 쓰이기도 한다.

이 반사식 중 하나가 '람베르트 반사식'이다. 모든 곳에서 오는 빛인 '환경광'의 밝기를 $L_{A}$, '광원'의 밝기를 $L_{C}$, 매끈한 정도를 $m$, 광원의 벡터와 법선벡터^?(어느 평면에 대해 곡선 위의 한 점을 지나고, 이 점에서의 곡선에 대한 접선에 수직인 벡터 또는 곡면 위의 한 점을 지나고, 이 점에서의 곡면에 대해 접하는 평면에 수직인 벡터)가 이루는 각이 $\theta \leq {\pi \over 2}$일 때, 어느 한 지점에서의 밝기는 $L_{A}+L_{C}\cos ^{m}\theta$로 계산한다. 물론 식 안의 코사인 값은 내적으로 계산한다. 예컨대, 원점을 중심으로 하고 반지름이 $r$, 광원의 위치가 $(a,b,c)$일 때, 구 위의 점 $(x,y,z)$에서의 반사광의 밝기는 $L_{A}+L_{C}\left({ax+by+cz \over r{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\right)^{m}$로 된다.

물론 컴퓨터의 연산 능력이 좋다고 한들, 점 하나하나를 일일이 계산하고 앉아 있을 수는 없다. '구'를 설명할 때 같이 언급한 대로, 실제로는 일단 정점을 설정하여 다각형을 그리고, 그 다각형 위의 점에 대해 밝기를 구한다. 그 다음, 한 점의 밝기를 다각형 전체의 밝기로 정하거나, 밝기가 정해진 점들 사이사이는 내분으로써 밝기를 정한다. 밝기나 밝기의 변화율이 불연속이므로 현실성은 다소 떨어지지만 계산량이 줄어든다는 장점이 있다.

벡터 방정식

내외분점과 직선

두 점과 그에 해당하는 위치벡터가 ${\vec {OA}}=(x_{a},y_{a},z_{a}),{\vec {OB}}=(x_{b},y_{b},z_{b})$로 될 때, 두 점 A, B를 m:n으로 내분하는 점은 ${m{\vec {OB}}+n{\vec {OA}} \over m+n}$, 외분하는 점은 ${m{\vec {OB}}-n{\vec {OA}} \over m-n}$로 된다. 이를 이용하면 두 점 A, B를 지나는 직선은 모든 실수 t에 대해 $t{\vec {OA}}+(1-t){\vec {OB}}$로 쓸 수 있다. 이처럼 벡터의 연산으로 된 방정식은 벡터 방정식이라 한다.

직선과 평면

xy평면상의 어느 직선 위에 있는 점 A의 위치벡터가 ${\vec {a}}=(x_{1},y_{1})$, 그 직선의 방향벡터가 ${\vec {u}}=(a,b)$일 때, 이 직선은 임의의 실수 k에 대해 ${\vec {a}}+k{\vec {u}}$, 혹은 직선 위의 임의의 점 P의 위치벡터를 ${\vec {p}}=(x,y)$라 할 때, $x=x_{1}+ka,y=y_{1}+ka$로 표현할 수 있으므로, 직선의 방정식은 ${x-x_{1} \over a}={y-y_{1} \over b}$로 쓸 수 있으나, 방향벡터에 수직인 법선벡터 ${\vec {n_{1}}}=(-b,a)$ 또는 ${\vec {n_{2}}}=(b,-a)$가 주어져 있을 때에는 ${\vec {n_{1}}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})=0$, ${\vec {n_{2}}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})=0$로 쓸 수 있다.

공간상의 평면도 마찬가지로, 점 A의 위치벡터가 ${\vec {a}}=(x_{1},y_{1},z_{1})$이고 이 점을 지나는 평면의 법선벡터가 ${\vec {n}}=(a,b,c)$로 주어져 있을 경우, 이 평면 위의 임의의 점 P의 위치벡터 ${\vec {p}}=(x,y,z)$에 대해 평면의 벡터 방정식은 ${\vec {n}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})=0$로 된다. 이 내적을 풀면 $a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0$인 일반적인 형태의 방정식으로 쓸 수 있다.

원과 구

원과 구는 한 점으로부터의 거리가 일정하다는 점을 이용한다. 원의 중심의 위치벡터가 ${\vec {a}}=(a,b)$이고 반지름의 길이가 r인 원 위의 임의의 점 P의 위치벡터가 ${\vec {p}}(x,y)$일 때, 방정식은 $\mid {\vec {p}}-{\vec {a}}\mid =r$ 또는 $({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})=r^{2}$로 된다. 구도 마찬가지로, 구의 중심의 위치벡터가 ${\vec {a}}=(a,b,c)$이고 반지름의 길이가 r인 원 위의 임의의 점 P의 위치벡터가 ${\vec {p}}(x,y,z)$일 때, 방정식은 $\mid {\vec {p}}-{\vec {a}}\mid =r$ 또는 $({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {a}})=r^{2}$로 된다.

정사영

정사영은 태양 광선 따위에 대한 도형의 그림자 정도로만 알면 된다. 엄밀한 것은 아니지만 이 정도면 직관적으로 이해되었으리라 한다. 같지 않은 두 평면 α, β에 대해 평면 α 위에 있는 임의의 도형의 넓이가 S, 두 평면이 이루는 각(이면각)의 크기가 θ일 때, 이 도형의 평면 β로의 정사영의 넓이는 $S\cos \theta$가 된다. 넓이가 아닌 직선의 길이인 경우에는 그 직선과 평면 β이 이루는 각의 크기를 따로 구해서 원래 길이에 그 각의 코사인 값을 곱해야 한다.

p.s. 3D 그래픽에서 그림자를 구현할 때, 광원이 굳이 지면과 물체 바로 위에 있으리라는 법은 없고 이 문단에서 구하는 것 또한 그림자의 범위가 아니라 단순히 길이나 넓이이니, 그냥 방정식을 세워서 그림자의 범위를 정하든지 하는 게 낫다. 또한, 광선이 물체와 두 번 이상 만난다는 이유로 어느 그림자는 진하게, 어느 그림자는 연하게 하는 실수는 하지 말고, 그림자의 투명도를 0으로 하여 현실감 없게 하는 실수도 범치 말아야 할지니라.

외적과 그 활용

외적

외적도 두 벡터에 대한 곱셈이지만, 내적과 달리 결괏값이 벡터로 나오기에 '벡터곱'이라고도 불린다. 연산 기호는 가위표(×)이며 그 크기는 두 벡터의 크기의 곱에 두 벡터가 이루는 각의 사인값을 곱한 것과 같다. 그리고 그 방향은 두 벡터에 모두 수직인 방향이기 때문에 평면벡터에서는 정의되지 않으며 3차원 이상이어야 한다. 어느 좌표계를 쓰냐에 따라 방향이 둘로 나뉜다. 오른손좌표계는 곱해지는 순서대로 오른손으로 감아서 치켜세운 엄지손가락이 가리키는 방향을 기준으로 하고, 왼손좌표계는 오른손이 아닌 왼손을 이용한다. 곱해지는 순서에 따라 방향이 정반대로 바뀔 수 있으므로 ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}$가 성립한다. 한편, 외적으로 구한 벡터의 방향은 별 의미는 없기 때문에 유사벡터라 한다.

따라서 오른손좌표계에서는 아래가 성립한다.

• $(1,0,0)\times (1,0,0)=(0,0,0)$
• $(1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1)$
• $(1,0,0)\times (0,0,1)=(0,-1,0)$
• $(0,1,0)\times (1,0,0)=(0,0,-1)$
• $(0,1,0)\times (0,1,0)=(0,0,0)$
• $(0,1,0)\times (0,0,1)=(-1,0,0)$
• $(0,0,1)\times (1,0,0)=(0,1,0)$
• $(0,0,1)\times (0,1,0)=(1,0,0)$
• $(0,0,1)\times (0,0,1)=(0,0,0)$

또한, 두 벡터 ${\vec {a}}=(x_{1},y_{1},z_{1})$, ${\vec {b}}=(x_{2},y_{2},z_{2})$가 ${\vec {a}}=(x_{1},0,0)+(0,y_{1},0)+(0,0,z_{1})$, ${\vec {b}}=(x_{2},0,0)+(0,y_{2},0)+(0,0,z_{2})$로 될 수 있음을 이용하면, 오른손좌표계에서 ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$은 ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2},z_{1}x_{2}-x_{1}z_{2},x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})$로 된다.

외적의 활용

외적은 지레를 돌린 알짜힘의 능력인 토크(Torque)를 구하는 데 쓰인다. 즉, 회전축으로부터 힘의 작용점까지의 거리를 ${\vec {r}}$, 알짜힘을 ${\vec {F}}$라 할 때, 토크 ${\vec {\tau }}$는 ${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$로 구한다. 내적에서 배운 일 또는 에너지와 같은 차원이지만, 같은 단위를 쓰지 않는다. 토크의 단위는 뉴턴미터(N·m) 또는 줄 매 라디안(J/rad)이고, 일과 에너지의 단위는 줄(J)이다.

외적을 이용하여, 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. xy평면 위에 원점 O와 두 점 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$가 주어져 있을 때, ${\vec {OP_{1}}}=(x_{1},y_{1},0),{\vec {OP_{2}}}=(x_{2},y_{2},0)$이라 취급하자. 그러면, 삼각형 OP₁P₂의 넓이는 ${1 \over 2}\mid {\vec {OP_{1}}}\times {\vec {OP_{2}}}\mid ={\mid x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}\mid \over 2}$로 된다.

이를 이용하여 xy평면 위의 다각형이 있을 때, 이 다각형의 점들을 연결된 순서대로 점 $P_{1},P_{2},\cdots ,P_{n}$(n은 3 이상의 자연수)라 하고 원점 O에 대한 이들의 위치벡터를 n 이하의 임의의 자연수 i에 대해 ${\vec {OP_{i}}}=(x_{i},y_{i},0)$로 취급할 때, 다각형 P₁P₂…P_n의 넓이는 ${1 \over 2}\mid \sum _{i=1}^{n}\left({\vec {OP_{i}}}\times {\vec {OP_{i+1}}}\right)\mid$ (단, P_n+1=P₁)로 되고, 이는 다시 ${1 \over 2}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}&x_{1}\\y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}$로 되는데, 혹시 이거 이미 알고 있는 사람들이 많지 않을까? 바로, '신발끈 공식'이다. Quod Erat Demonstradum.

※ 2024학년도 6월 모의평가 이후로 설왕설래가 많아서 쓰는 말이지마는, 벡터의 외적은 정사영과 무관하다.

행렬

행렬(Matrix)는 2023년 현재 고등학교에서 수학을 배우는 사람이라면 처음 들어보는 개념일 것이다. 그러나 2018년 모든 학생이 배워야 하는 일반과목에서 빠지자 심각한 논란을 불렀으며 2025년 개정 예정인 고등학생의 교육 과정에서 이 행렬의 개념이 학계와 교육계의 강력한 요구에 따라 다시 필수 이수인 일반과목에 포함될 예정이고, 심지어 더 근본적인 요소를 반영해 고등학교 2학년 과정에서 배우던 것을 고등학교 1학년 과정으로 내리는 방식이 고려되고 있다. 도대체 이게 무엇이길래 이토록 관심을 받는 것일까?

일단 표면상으로 행렬의 정의는 여러 숫자를 직사각형 형태로 늘어놓은 것으로, 가로줄을 행, 세로줄을 열이라고 부른다. 그러나 이것 만으로는 행렬의 쓰임새를 알 수 없다. 행렬은 선형 시스템을 표현하는 계수들의 모임이라고 보는 것이 더 정확하다. 그리고 이 선형 시스템의 다른 말은 일차연립방정식이다. 즉 행렬은 원래 일차연립방정식을 일종의 연산으로 처리하여 그 특징을 뽑아 깔끔하게 푸는 방법에서 출발했다고 봐야 한다.

선형대수학의 기본정리라 해서, 아래 나올 평행이동, 닮음과 회전 등의 선형변환은 행렬로 표기할 수 있다. 이 사실은 비디오 게임이나 만화영화의 2D, 3D 그래픽 렌더링 처리에서 기본이 되는 이론이니 컴퓨터 그래픽스를 전공하고 싶다면 필수로 기억하자.

${\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}}$

이것은

${\begin{bmatrix}a&b\\d&e\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\f\end{bmatrix}}$

으로 다시 쓰일 수 있다. 여기서 ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$의 형태는 대학교에서 선형대수학을 배울 때 벡터를 표기하는 데에 쓰게 된다. 즉, 벡터 역시 행렬의 일종이다. 이전 교육과정에서는 대괄호가 아닌 소괄호를 썼지만, 여기서는 행렬 표현에 대괄호를 이용키로 한다.

• 중요 개념들

• 정사각행렬: 가로와 세로의 길이가 같은 행렬을 말한다. 여기서 가로와 세로의 길이가 모두 $n$이라면, $n\times n$ 행렬, $n$차 정사각행렬이라 한다.
• 영행렬: 행렬 안 모든 숫자가 0인 행렬이다.
• 영인자: 모두 영행렬이 아닌데도 행렬곱을 시행하면 영행렬이 나오는 각 행렬들을 가리킨다. 이 용어의 의의는 '$ab=0$면 $a=0$ 또는 $b=0$'인 스칼라 값 집합에서의 법칙이 행렬 연산에서는 통하지 않는다는 것을 고등학생에게 각인시킬 수 있다는 것이다. 대학교 수학과에 진학하겠다면 나중에 대수학 이론에서 만날 정역이라는 용어가 이 부분에 대응한다는 것을 알아두어도 좋다.
• 항등행렬: 스칼라 곱셈(또는 상수곱)에 1이 있다면 행렬 곱셈에는 $I$가 있다. 어떤 행렬에 이 항등행렬을 곱하면 그 행렬을 그대로 답으로 내보내는 행렬 연산의 항등원으로, 항등행렬은 정사각행렬에만 존재한다. $n$차 정사각행렬에서 $1\leq k\leq n$인 모든 자연수 $k$에 대해 $k$행 $k$열의 원소는 1이고 그 외는 모두 0으로 되어 있다.
• 상수곱과 행렬곱: 어떤 행렬의 각 숫자에 상수를 곱하는 것을 행렬의 상수배(상수곱이나 스칼라 곱이라고 쓰는 것이 더 근본적인 표기다)라고 하며, 이와는 별도로 두 행렬 A, B끼리 곱하는 AB의 결과값이 될 결과행렬 내 각 숫자 위치에 대해 A에서 같은 위치의 행, B에서 같은 위치의 열만 뽑아 벡터의 내적을 하듯 '곱한 다음 전부 더하는 행위'(누산이라고도 한다)를 하면 결과를 얻을 수 있다. 이것을 행렬의 곱셈(행렬곱)이라고 한다.
  행렬곱은 고등학교에서 배우는 수학에서 함수의 합성과 함께 교환법칙이 통하지 않는 단 둘 뿐인 연산이다! 즉 두 행렬 A, B에 대해 AB=BA가 일반적으로 성립하지 않는다.

행렬식

행렬식은 이 행렬 연산의 특성을 표시하는 식이자 다음 문단에 설명할 역행렬의 유무를 판단하는 식으로, 행렬에 절댓값을 씌우면 행렬식이 나온다. 그렇기에 나중에 행렬이나 벡터에 관한 글을 볼 제면, 절댓값 기호가 두 겹인 것을 볼 수 있을 것이다. 뜻인즉, 행렬식을 구해서 그 행렬식의 절댓값을 구하라는 것이다.

보통 고등학교에서는 역행렬이 존재할 조건식(또는 판별식)이라고 하는데, 사실 행렬식이라고 하면 행렬방정식과 헷갈릴 우려가 있어서 보통 고등학교에서는 저렇게 설명한다.

본래 아서 케일리와 윌리엄 R. 해밀턴은 처음에 일차연립방정식으로 표현되는 선형계를 탐구할 때 선형계의 변환을 ― 이 선형계는 우리가 아는 직교좌표계를 벡터화한 좌표평면도 포함한다 ― 따로 연구하여 그 특징을 뽑아내기 위해 행렬과 행렬식을 발명했다.

정의

행렬의 역행렬이 존재할 조건이다. $2\times 2$ 행렬의 경우 행렬이 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$일 때 ad-bc의 값이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다.

관련: 케일리-해밀턴 정리

보통 고등학생은 이것이 필요한 경우가 드물다. 보통 $2\times 2$ 행렬의 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle A^2−(a+d)A+(ad−bc)I=O} 만 보게 될 것이다. 사실 이건 겉핥기식 지식이고 진짜 케일리-해밀턴 정리는 $\lambda I-A$의 행렬식 값이 0이 되는 스칼라 방정식에서 람다($\lambda$)값을 A로 대체하고 우변의 0을 영행렬로 대체한 행렬방정식을 만들 경우 그 식이 옳다는 것이다. 보통 고등학교에서는 이 정리를 쓸 경우 a+d나 ad-bc의 값을 물어보는 정도의 활용만 가능하기 때문에(아마 보통 A가 I의 상수배인지 아닌지 경우를 나눠 풀게 될 것이다) 사용처가 한정적이며, 이 정리의 사용을 권장하지 않는다.

참고로 저 람다값은 대학교 선형대수학에서 고유값(eigenvalue)을 뜻하는 스칼라 상수로, Ax = λx가 되는 스칼라값을 말한다. 이걸 고등학교에서는 설명하지 않기에 케일리-해밀턴 정리를 굳이 외울 필요가 없는 것이다(교육과정에서 설명하지 않는 것은 시험에서 쓰지 않는 것이 제대로 교육과정을 이수하는 행위라고 봐야 한다)

행렬곱

두 행렬 $A$($m\times l$ 행렬), $B$($l\times n$ 행렬)이 있을 때 두 행렬을 곱하는 것을 배우고, 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 배울 것이다.

행렬 $A$와 행렬 $B$를 차례대로 곱한 결과 $AB$를 행렬 $C$라 하자. 행렬 $C$에서 $i$행 $j$열의 원소는 행렬 $A$의 $i$행과 행렬 $B$의 $j$열을 누산한 것이 된다. 그러면 행렬 $C$는 행렬 $A$처럼 $m$개의 행을 갖고, 행렬 $B$처럼 $n$개의 열을 갖아 $m\times n$ 행렬이 된다. 즉, 두 행렬을 곱하려면, 앞 행렬의 열의 개수와 뒤 행렬의 행의 개수가 같아야 한다.

다시 말해서, 두 행렬 $A$($m\times l$ 행렬), $B$($l\times n$ 행렬)은 $AB$를 계산할 수 있으나, $m\not =n$인 경우에 대해 $BA$를 계산할 수 없는 것이다. 이로써 행렬곱에서는 교환법칙이 성립하지 않음을 알 수 있다.

역행렬

역행렬은 어떤 정사각행렬에 대해 행렬의 곱셈을 했을 때 결과값으로 항등행렬을 내는 정사각행렬을 말한다. 보통 행렬 $A$에 대해서 $A^{-1}$로 표기하며 이 역행렬을 곱할 경우에 한해 교환법칙이 성립한다. ($I\equiv AA^{-1}=A^{-1}A$) 보통 역행렬을 방정식 양쪽에 곱하는 식으로 행렬방정식을 풀어나간다.

보통 $2\times 2$ 행렬은 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$라는 행렬이 있을 때 그 역행렬이 ${\frac {1}{(ad-bc)}}{\begin{bmatrix}a&-b\\-c&d\end{bmatrix}}$가 된다. 즉, 행렬식인 $ad-bc$이 0이라면 분모가 0이 되기에 역행렬은 존재하지 않는다.

그 외의 정사각행렬(예: 3×3)의 경우 행렬에 대해 행끼리 더하고 빼거나, 행에 상수배를 하거나, 행끼리 교환하는 기본행연산이라는 것을 첨가행렬을 구성한 다음 시행해서 역행렬을 구하는 가우스-조르당 소거법으로 구하는데 이건 대학 과정에서 하는 법을 배우니 이런 방법이 있구나 알고 넘어가면 된다.

회전의 표현

우리는 《고등학생을 위한 즐거운 기본수학》에서 $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$, $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$라는 것을 배웠다. 만약 여기에 반지름을 곱한다면 우리는 다시 극좌표계를 생각해낼 수 있다. 즉, 직교 좌표계의 $(x,y)$가 극좌표계의 $(r,a)$라 하고, 직교 좌표계의 $(x',y')$가 극좌표계의 $(r,a+b)$라 하자. 그럼 $(x,y)$와 $(x',y')$의 관계는 어떻게 표현해야 할까?

극좌표계 소단원에서 직교 좌표계와 서로 변환하는 방법을 배웠으므로, 다음을 알 수 있다.

• ${\begin{cases}x=r\cos a\\y=r\sin a\end{cases}}$
• ${\begin{cases}x'=r\cos(a+b)\\y'=r\sin(a+b)\end{cases}}$

앞서 말했듯이, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$와 $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$가 성립함을 기본수학에서 배웠으므로, 이를 이용하면 $(x',y')$는 다음과 같이 된다.

${\begin{cases}x'=r(\cos a\cos b-\sin a\sin b)\\y'=r(\sin a\cos b+\cos a\sin b)\end{cases}}$

다시, ${\begin{cases}x=r\cos a\\y=r\sin a\end{cases}}$을 이용하면 다음과 같이 된다.

${\begin{cases}x'=x\cos b-y\sin b\\y'=y\cos b+x\sin b=x\sin b+y\cos b\end{cases}}$

그리고 이를 행렬식으로 표현하면 최종적으로 아래와 같이 된다.

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos b&-\sin b\\\sin b&\cos b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

즉, 원점에 대해 직교 좌표계 위의 점 $(x,y)$을 반시계 방향으로 $\theta$만큼 회전시킨다면, 회전 후의 좌표 $(x',y')$는 ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$로써 구할 수 있으며, 이것의 역행렬은 ${\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$로 된다. 보다시피 반시계 방향으로 $-\theta$만큼, 다시 말해서 시계 방향으로 $\theta$만큼 회전시키는 행렬이다.

여기서 더 확장하여 3차원에서의 회전을 생각할 수 있는데, $x$축, $y$축, $z$축에 따라 각각 $\theta$만큼 회전한다고 하면, 그 계산은 아래와 같이 된다. 원리는 위와 같다.

• $x$축: ${\begin{bmatrix}x\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$
• $y$축: ${\begin{bmatrix}x'\\y\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}y\\z'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y\\z\\x\end{bmatrix}}$
• $z$축: ${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}z\\x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z\\x\\y\end{bmatrix}}$

한편, 임의의 점이나 임의의 축으로 회전하는 것은 행렬로는 한계가 있으니 나중에 사원수를 배우는 것이 훨씬 좋다.