고등학생을 위한 즐거운 미적분

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고등학생을 위한 즐거운 학문/미적분


목적[편집 | 원본 편집]

《미적분》은 극한에 대한 엄밀한 연구와, 변화율, 곡선의 길이, 도형의 넓이와 부피 등을 구하기 위한 학문이다. 현행 교육과정과 같이, 기하와 동등한 위치에 둘 생각도 했지만 벡터에 관한 미분 내용은 여기서 다루는 게 좋을 것만 같았다. 《미적분》에서 하고 싶은 말이야 오일러 공식이나 드 무아브르 정리도 있었지만, 일단은 접어 두었다. 만약 《심화수학》이나 《고급수학》이 생긴다면 거기서 말하게 될는지도 모른다. 그때는 어쩌면 엡실론-델타 논법도 거기로 올라갈 듯싶다.

미분[편집 | 원본 편집]

미분계수와 도함수와 미분 가능성[편집 | 원본 편집]

영국의 물리학자 겸 철학자 겸 연금술사인 아이작 뉴턴은, 중력을 받아 떨어지는 물체의 운동을 시간과 높이에 대해 분석하다가 순간속도의 크기를 구하고 싶어졌다. 속도란 잘 알다시피 위치의 변화량을 시간으로 나눈 것인데, 이를 엄밀하게는 평균속도라 한다. (미분에서는 평균 변화율.) 순간속도는 나누는 시간의 크기를 0에 수렴할 정도로 하여 구한 값을 의미한다. 즉, 시간 에 대해, 부터 까지 위치 의 평균 변화율은

로 된다. 여기서 변화량을 의미하는 를 이용하면

로 쓸 수 있는데, 그러나 우리가 알고 싶은 것은 순간속도이므로 여기에 극한을 취해 준다.

이 극한값이 존재할 때, 우리는 그 극한값을 에서의 미분계수, 또는 순간 변화율이라 부른다. 한편, 위 극한에서의 좌극한은 좌미분계수, 우극한은 우미분계수라 한다.

도함수는 미분계수를 일반화한 개념이다. 어떤 연속함수 와 그 정의역에 속한 원소 에 대해,

가 존재한다면, 는 함수 의 도함수라 하며 그 외로는

라 표기할 수도 있다. 물론 도함수는 극한을 이용해 정의한 함수이기에 모든 에 대해 그 함숫값을 갖는다고 말할 수는 없다. 그렇지만, 이러한 도함수일지라도 도함수의 도함수를 갖는다고 말할 수는 있다. 도함수의 도함수는 이계도함수라고 하며, 이를 거듭할수록 n계도함수라고 부른다. 그리고 그 표기는 아래와 같다.

?(어깻점은 n계도함수의 n개 만큼 표기한다.)

한편, 함수

라 쓸 수 있는데, 여기서 로 수렴하게 하면,

이 된다. 즉, 함수 의 값인 미분계수가 존재하면 그 점에서는 연속이라는 것을 알 수 있다. 그러나 그 역은 성립하지 않는데, 대표적인 예시가 에서 연속이지만, 그 미분계수가 존재하지 않는다는 것이다.

다항함수의 미분[편집 | 원본 편집]

(은 자연수)일 때, 는 이항정리에 따라 로 전개될 것이다. 즉, 로 된다.

한편, (는 실수)라고 하여도 이므로, 임을 알 수 있다.

또한 미분 가능한 두 함수 에 대해서도 의 도함수를 구하자면 가 성립한다. 따라서, 미분시킬 함수가 단항식이 아닌 다항식이라도 각각의 항을 미분함으로써 도함수를 구할 수 있다. 물론 상수함수는 도함수가 0이다.

사잇값 정리와 평균값 정리[편집 | 원본 편집]

사잇값 정리는 함수 가 구간 에서 연속일 때, 의 사잇값인 에 대해 가 구간 에 존재한다는 정리이다. 이를 증명하려면 또다시 델타를 끌고 와서 미주알고주알 해야 하지만, 학생들을 괴롭히지 않기 위해 나는 이 수많은 여백을 두고서 증명을 생략하는 대승적 결단을 내리기로 하였다.

평균값 정리를 증명하기에 앞서 두 개의 정리를 먼저 설명해야 하는데, 그 중 하나는 최대·최소 정리다. 이는 함수 가 구간 에서 연속일 때, 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다는 정리다. 이 많은 여백을 두고서도 그 증명을 쓰기가 약간 껄끄러운 면이 있는데, 그 이유는 바로 이 정리가 너무 직관적인 나머지 증명을 하는 데 고등학생으로서의 범위를 심히 초과하기 때문이다. 따라서 이 또한 증명을 생략한다.

다른 하나의 정리는 롤의 정리(Rolle's theorem)이다. 함수 가 구간 에서 연속이고 구간 에서 미분 가능이며, 일 때, 가 구간 에 존재한다는 정리다. 다행스럽게도 이것은 고등학생이 증명할 수 있다. 왜냐하면, 함수 가 구간 에서 연속이기에 최대·최소 정리로 주어진 구간 안에서 함숫값이 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 의미하기 때문이다. 그리고 구간 에서 미분 가능이기에 최댓값과 최솟값에서 미분계수가 0인 것은 고등학생으로서 증명 가능한 문제이다. 따라서 롤의 정리는 이렇게 증명된다.

마지막으로, 평균값 정리는 함수 가 구간 에서 연속이고 구간 에서 미분 가능일 때, 가 구간 에 존재한다는 정리로, 롤의 정리를 일반화한 정리다. 이를 증명하기 위해 두 개의 함수를 설정할 것이다. 첫째로 이다. 즉, 는 직선이지만, , 를 만족한다. 그래서 둘째로 로 설정할 것이다. 이러면 함수 는 구간 에 대해 롤의 정리가 성립함을 알 수 있다. 즉, 가 구간 에 존재한다는 의미이므로 평균값 정리가 증명된다.

지수함수와 로그함수의 미분[편집 | 원본 편집]

삼각함수의 합성과 분해[편집 | 원본 편집]

삼각함수의 미분[편집 | 원본 편집]

여러가지 미분법[편집 | 원본 편집]

함수의 곱 미분법

미분 가능한 두 함수 에 대해 의 도함수를 구해보자면, 을 해결해야 한다. 이 상태에서 해결하기에는 어려우니, 앞으로 미적분을 풀 때 이런 상황에 닥친다면 그런 식에다가 적당한 무언가를 빼고 다시 더해주든가, 나누고 다시 곱해주든가 하는 것을 해야 한다. 우린 그냥 이걸 '저지르고 메꾸기'라 부르자.

을 저지르고 메꾼다고 하면, 로 된다.

함수의 몫 미분법

미분 가능한 두 함수 에 대해 의 도함수를 구하는 방법은 두 가지를 들 수 있다.

1. 미분계수로 구하기
우리가 구해야 할 도함수는 를 통해 구할 수 있는데, 이는 로 쓸 수 있고, 저지르고 메꾸는 식으로 풀면, 로 된다.
2. 함수의 곱 미분법으로 구하기
라면, 이다. 이 상태에서 미분을 하면, 인데, 이를 에 대해 정리하면, 이다. 여기서 이므로, 다시 정리하면 로 된다.

우리는 이를 통해 의 도함수는 로 됨을 알 수 있으며, 음의 정수를 지수로 갖는 유리함수를 미분할 수 있게 된다.

합성함수 미분법
음함수 미분법

우리가 아는 함수들은 로 된 양함수이다. 음함수는 으로 된 함수를 의미한다. 예컨대, 원의 방정식인 은 음함수 형태인 으로 된다. 즉, 우리가 구하고자 하는 것은 이러한 음함수에서의 도함수이다.

음함수를 미분할 때에는 한 변수를 다른 변수의 함수처럼 놓고 푸는 것이 핵심이다. 예컨대, 음함수 에 대해 미분하면 이므로, 이 된다.

또다른 예로, 음함수 (는 정수)을 에 대해 미분하면 이 되는데, 이를 에 대해 정리하면, 이다. 그런데, 이기 때문에 이는 다시 로 된다. 즉, 우리는 유리수 에 대해서 의 도함수가 로 됨을 알 수 있으며, 경험에 따른 귀납적 추론으로 이는 실수에서도 성립함을 추론할 수 있다.

적분[편집 | 원본 편집]

원시함수와 부정적분[편집 | 원본 편집]

우리는 의 도함수라는 것을 안다. 그러면, 에 대해 어떤 존재일까? 우리는 에 대해 를 역도함수 또는 원시함수라 부르기로 하였다. 한편, 의 원시함수는 소문자 f에 대응되는 대문자인 F를 써서 보통 라 한다. 즉, 의 도함수는 다시 가 되는데, 의 상수항은 도함수인 의 결과에 어떠한 영향도 미치지 않는다. 그렇기에 의 원시함수를 올바르게 표기하려면, 적분상수 라는 것을 더해주어서 라 해야 한다. 그리고 우리는 이를 부정적분이라고 한다.

정리하자면, 다음과 같다.

  • (는 적분 상수)
  • (는 적분 상수)

또한 는 인테그랄(integral)이라고 부른다. 예컨대 에 대해 부정적분한 것이라는 의미다.

정적분과 미적분학의 제1 기본 정리[편집 | 원본 편집]

미적분학의 기본 정리란, 미분을 거꾸로 하면 적분이 되고 적분을 거꾸로 하면 미분이 되는 것과(제1 정리), 정적분은 부정적분의 차로 나타낼 수 있다는 것(제2 정리)을 의미한다. 일단 여기서는 제1 정리를 언급할 것이다.

미적분학의 제1 기본 정리

함수 와 그 원시함수 에 대해 라 표현하는데, 적분 구간이 정해졌다고 하여 이를 정적분이라고 한다. 그러니까, 이 된다. 평균값 정리에 따라 가 구간 에 존재하게 되는데, 은 0에 수렴하므로 에 수렴하게 된다. 즉 다시 말해서, 원시함수의 도함수는 원함수가 됨을 의미한다.

구분구적법과 미적분학의 제2 기본 정리[편집 | 원본 편집]

그래서 적분을 얻다 써먹느냐고 묻는다면 대답하는 게 인지상정! ^―^ 다만, 먼저 구분구적법에 대해 언급하고 대답하겠다.

구분구적법

곡선을 포함하는 평면 도형의 넓이를 구하는 것은 우리가 초등학교에서도 이미 배운 것이다! 원의 넓이를 구할 때, 고대 그리스의 아르키메데스부터 중국 송나라의 조충지 등이 원 안에 꼭 맞는 다각형을 일일이 넣어 보면서 원주율을 구했다는 것은 교양으로나마 다들 알고 있는 사실이다. 우리가 가장 쉽게 넓이를 구할 수 있는 도형 중 하나가 직사각형이니, 우리는 좌표 평면 위에 있는 도형을 가늘고 긴 직사각형의 넓이의 합으로써 도형의 넓이를 구하도록 하자. 즉, 함수 와 구간 에 대해 넓이 로 구할 수 있고, 이 방법을 구분구적법이라 한다. 다른 이름으로는 리만 합(Riemann sum)이라고 한다.

미적분학의 제2 기본 정리

함수 를 구간 에 대해 정적분하면 가 된다. 여기서 라 하면, 이 된다. 여기서 우변은 다시 로 정리할 수 있는데, 는 평균값 정리에 따라 (이며, 을 만족하고 을 만족한다.)라 쓸 수 있다. 여기서 로 발산하여 모든 는 0에, 에 수렴하면 이는 구분구적법에 따라 함수의 그래프와 축 사이의 주어진 구간 안에서의 넓이를 의미하게 된다. 즉, 로 되며, 따라서 정적분을 통해 우리는 그래프의 넓이를 계산할 수 있게 된다. 리만 합이 정적분과 같은 결론에 도달하기에, 정적분은 리만 적분(Riemann integral)이라고 부른다.

한편, 가 모두 같은 간격일 필요는 없고 단지 0에 수렴하기만 해도 되는데, 이에 대해서는 소단원 '여러 가지 적분법'에서 치환적분법을 다룰 때 다시 언급할 것이다.

다항함수의 적분[편집 | 원본 편집]

지수함수의 적분[편집 | 원본 편집]

삼각함수의 적분[편집 | 원본 편집]

여러가지 적분법[편집 | 원본 편집]

초월함수[편집 | 원본 편집]

위에서 보았다시피, 일 때에는 에 대해 적분한 결과를 알 수 있었다. 그럼 에 대해 적분한 결과는 어떻게 구할까? 사실대로 말하자면, 우리는 양의 실수를 정의역으로 하는 함수 라 쓰고, '자연로그'라 정의하였다. 앞으로 이 단원에서는 자연로그에서 '자연로그의 밑'이 나올 것이고, '자연로그의 밑'을 밑으로 하는 지수함수와 일반화된 지수함수를 배울 것이며, 다시 지수함수에서 일반화된 로그함수로 되돌아갈 것이다. 이는 여태까지의 교육과정이 자연로그의 밑을 먼저 배운 후에 자연로그를 배우게 하였기에 이들의 관계나 역할에 대해 오해할 여지를 없애주기 위함이다. 단지 복습한다는 마음으로 배우기를 바란다.

자연로그의 정의로부터, 임을 알 수 있다. 또한, 라는 성질도 자연로그의 정의와 치환적분을 통해로 증명할 수 있다. 같은 맥락에서, 도 증명할 수 있다.

미적분학의 기본 정리에 따라 임을 알 수 있다. 즉, 의 접선의 기울기가 1이 되는 지점은 인 지점이다. 이를 도함수의 정의로 다시 쓰면, 인데, 앞서 말한 자연로그의 성질에 의해 이는 이 된다. 그런데, 는 구간 에서 미분 가능하므로 곧 연속이다. 따라서 이는 로 다시 쓸 수 있다. 즉, 을 만족하는 의 값은 이며, 우리는 이 값을 자연로그의 밑이라 부르고 라고 쓴다.

미적분의 활용[편집 | 원본 편집]

벡터와 미적분[편집 | 원본 편집]

곡선의 길이와 회전체의 부피 및 겉넓이[편집 | 원본 편집]

질점과 모멘트[편집 | 원본 편집]

로피탈 정리[편집 | 원본 편집]

정부에서 '사교육 이권 카르텔'을 잡는다고 이래저래 말이 많다. 특히 수능 미적분을 대비한다고 로피탈 정리와 테일러 급수를 가르치는 학원을 족칠 예정인 듯한데, 나에겐 그보다 더 기막히고 효율적이며 쉬운 방법이 있다. 까짓거 로피탈 정리와 테일러 급수도 공교육의 개정 교육과정에 정식으로 넣어 버리면 그만인 것 아니겠는가?

로피탈 정리(L'Hospital's rule)는 일반적인 고등학교 과정에는 등장하지 않지만, , 등의 부정형에 관해 극한값을 계산하기 무척이나 쉬워지기에 많은 고등학생들이 조자룡 헌 창 휘두르듯이 쓰기도 한다. 그러나 한국교육과정평가원은 그리 호락호락한 새끼가 아니라서, 오히려 로피탈 정리를 쓰는 게 더 복잡한 상황을 만들어내는 것도 가능하다.

요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 발견한, 로피탈 정리는 다음과 같다.

에서 미분 가능한 두 함수 , 또는, 이고 이라면, 이 성립한다. (단, )

비록 중등교육과정에서는 가르치지 않지만, 의 경우는 미분계수라는 것을 알기만 한다면 얼마든지 유도해 낼 수 있다. 왜냐하면, 로 쓸 수 있기 때문이다. 또한, 는 0이 아니므로 분모와 분자를 각각 로 나눌 수 있다. 그러면 은 다시 로 쓸 수 있게 되는데, 이렇게 분모와 분자는 각각 미분계수 형태가 되어 마침내 라는 것을 증명할 수 있다. 그렇기 때문에 내신과 논술고사, 본고사에서 로피탈 정리를 쓰고 싶다면 이 증명 과정을 써내야 감점되지 않는다.

이를 일반화한 것이 코시 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem) 또는 확장된 평균값 정리(Extended mean value theorem)로, 보다시피 평균값 정리를 응용한 것이다. 그리고 그 내용은 다음과 같다.

에서 연속이고 에서 미분 가능한 두 함수 , 에 대해 이면, 를 만족하는 에 존재한다.

먼저, 식 을 생각해 본다. 그러면 이 성립하고 해당 식은 연속에 미분 가능이기 때문에 에 존재하다는 것을 평균값 정리로 알 수 있다. 그러면 그 뜻은 에서 에 존재하다는 것이다. 그러면 에 대한 식으로 정리하면, 를 만족하는 에 존재함을 의미하게 된다.

테일러 급수[편집 | 원본 편집]

만약 같은 식이 있다고 치자. 그리고 의 값을 어림하라고 하면, 평균 변화율을 배운 학생으로서 이나 로 어림할 수 있다. 이를 일반화하면, 미분 가능한 함수 에 대해 의 어림값은 로 할 수 있다. 그런데 이 어림값은 도함수를 많이 쓸수록 더 정확해진다. 그렇다면 라 할 수 있다. 그리고 이를 테일러 급수(Taylor series)라 한다. 특히 이 되어 으로 되면 이를 매클로린 급수(Mclaurin series)라 한다.

매클로린 급수를 이용하여 고등학생에게 요긴하게 쓰이는 함수들을 표현하자면 아래와 같이 된다.

다만, 이게 너무 길다 싶으면 어차피 고등학생으로서 테일러 급수를 쓸 만한 상황은 에서 로피탈 정리와 함께 쓸 때이므로, 2개 내지 3개의 항만 외워도 된다. 이에 따라 그 외 함수는 아래와 같이 어림된다.

각주[편집 | 원본 편집]