선형대수학

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서문[편집 | 원본 편집]

1

수학과를 졸업한 학생들에게 물었다. 학부 과정에서 가장 중요한 과목이 무엇이냐고. 그 가운데서도 '선형대수학'과 '해석학'은 한 명도 빼지 않고 답했다. 그렇다면 그게 왜 중요하냐고 물었다. 제대로 들어두지 않으면 현대대수학이나 해석기하를 들을 때 헤맨다고 한다. 심지어 이 과목들은 왜 그리도 쓰임새가 많은지도 모르겠단다.

그냥 배워야 하는 것이다.

2

수학과 학생에게 물었다. 학습에서 가장 불만인 점이 무엇이냐고. 1학년부터 4학년까지 교재가 전부 다 영어인 게 불만이라고 한다. 특히 수학 같은 자연과학은 내용이 거의 바뀌지 않는데도 그 누구도 한국어로 교재를 쓰거나 번역할 생각도 않는단다.

그래서 한국어로 쓴다.

본문[편집 | 원본 편집]

선형대수와 행렬[편집 | 원본 편집]

우리는 중학교에서 직선의 방정식이 , 에 대해 로 됨을 배웠었다. 우리는 이러한 일차방정식을 앞으로 '선형방정식'(Linear equation)이라고 부르기로 한다.

마찬가지로, 평면의 방정식인 또한 선형방정식이다.

이를 거듭하여 자연수 에 대해 또한 선형방정식이다.

선형방정식들을 어울려 세워서 하나의 시스템으로서 만든 것을 바로 연립선형방정식 혹은 선형시스템이라 한다.

우리가 중학교에서 배운 것이다. 대부분의 수포자들은 이곳에서 태어났다.

중학교에서는 모르는 수 2개와 그걸로 만든 식 2개만 가지고 풀었다. 예컨대 따위로 말이다.

선형방정식이기만 한다면 몇이서 어울리든지 선형시스템이 된다. 그러므로 도 선형시스템이다.

그러나 선형방정식을 일일이 쓰고 있자니 너무나도 귀찮은 일이었다. 그래서 수학자들은 변수와 등호를 모두 지우고 계수와 상수만을 표시하는 방법을 생각해 내었다. 예컨대 이 선형시스템 로 표현된다. 이를 확장행렬(Augmented matrix)이라고 한다.

같은 가로줄(행)에 있는 계수 및 상수는 같은 선형방정식에서 나온 것이며, 같은 세로줄(열)에 있는 계수는 같은 변수와 곱해지는 값이다.

행에서 0이 아닌 첫번째 계수를 '선행계수'(Leading entry)라 부른다.

만약 여기서 이 전부 0이라면 '제차 선형시스템'(Homogeneous linear system)이라고 한다.

가우스-요르단 소거법[편집 | 원본 편집]

여기서 아무리 선형대수와 행렬에 대해 이러니 저러니 하여도 결국 중요한 것은 해를 찾는 것이다.

연립선형방정식에 대한 해법 연구는 의외로 굉장히 오래된 것이라 중국의 삼국시대에 쓰인 책인 《구장산술》의 『제8장: 방정』[1]에도 연립선형방정식의 해를 구하는 방법이 적혀 있다.

연립선형방정식의 해를 구하는 대표적인 알고리즘은 '가우스-요르단 소거법'이다. 수학자인 프리드리히 가우스와 토지측량사인 빌헬름 요르단이 독립적으로 같은 해에 발표한 방법이다. 그 방법은 아래와 같다.

  1. 아래 세 가지 과정을 사용한다.
    1. 두 개의 행을 서로 맞바꾼다.
    2. 하나의 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한다.
    3. 하나의 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한 것을 다른 행에 더한다.
  2. 각 행의 선행계수가 아래에 있는 행의 선행계수보다 왼쪽에 있도록 위 과정을 반복한다.

위 과정을 통해 행렬에서 0이 아닌 계수들은 사다리꼴 모양을 이룬다. 그래서 가우스-요르단 소거법을 이용해 얻어낸 행렬을 행사다리꼴행렬(Ref; Row echelon from)이라 한다.

여기서 모든 선행계수를 1로 맞추어 '선행1'(Leading 1)으로 만들고, 선행1의 바로 위에 있는 계수들을 가우스-요르단 소거법으로 소거하여 얻어낸 행렬을 기약행사다리꼴행렬(Rref; Reduced row echelon form)이라 한다.

제차 선형시스템에서의 자명한 해와 자명하지 않은 해[편집 | 원본 편집]

앞서 말했듯이, 제차 선형시스템은 다음과 같은 형태를 가진다.

만약 1부터 까지의 모든 자연수 에 대해 가 모두 0이라면 이는 계수가 무엇이든간에 선형 시스템의 해가 된다. 이를 제차 선형시스템의 자명한 해(Trivial solution)라고 한다.

만일 어떤 에 대해 가 0이 아님에도 위 선형 시스템의 해가 되는 것이 존재한다면 이는 제차 선형시스템의 자명하지 않은 해(Nontrivial solution)이 된다.

행렬의 연산[편집 | 원본 편집]

행렬조차도 일일이 나타내기 귀찮으므로, 열의 행렬 와 그 행렬 속의 열의 계수에 대해 으로 나타내자.

행렬의 덧셈과 뺄셈
이고 일 때, (복부호동순)
실수배
이고 가 실수일 때, 이다.
행렬의 곱셈
이고 일 때, (이면 이 성립하지 않음.)
이고 일 때, 이고 이므로, 일반적으로는 이다. 그러나 성립하는 경우에, 두 행렬 는 교환 가능(Commutative)이라 한다.
한편, 임의의 에 대해 를 만족하는 행렬 는 항등행렬이라 하여 Identity의 머릿글자를 따서 라고 하는데, 행렬(행과 열의 크기가 같은 행렬은 정사각행렬이라 한다.)에 대해 으로 정해진다. 한편, 행렬 안의 모든 성분이 0이라면 이를 영행렬이라 하고 로 나타낸다.

행렬에서는 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않으나, 덧셈의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

역행렬[편집 | 원본 편집]

의 항등행렬 와 어떤 행렬 에 대해 를 만족하는 행렬 가 있다면 이를 의 역행렬이라 하고 이라 한다. 이렇게 역행렬이 존재하는 행렬들은 가역행렬이라 한다. 예컨대, 인 행렬의 역행렬은 다음과 같다.

이때, 역행렬은 유일하게만 존재하는데, 그 증명은 다음과 같다.

가역행렬 에 대해, 라 가정하자.
이므로, 이 성립한다.
행렬은 곱셈의 결합법칙이 성립하므로 이 되어 모순이 된다.
따라서 행렬의 역행렬이 존재한다면 그것은 유일하다.

역행렬에 대한 성질은 다음이 있다. 이때, 아래서 주어지는 행렬들은 모두 가역행렬이다.

  1. , 양변에 을 곱해 증명할 수 있다.
  2. 0이 아닌 스칼라 에 대해 이다.
  3. 행렬 에 대해, 이므로, 역행렬이 존재하는 행렬의 제차 선형시스템의 해는 자명한 해 밖에 존재하지 않는다.

기본행렬과 전치행렬[편집 | 원본 편집]

앞서 배운 가우스-요르단 소거법을 보다 정형화된 알고리즘으로써, 행렬의 연산으로써 풀기 위해 각 과정을 행렬로 표현한 것을 기본행렬(Elementary Matrix)이라 한다. 각 과정은 다음과 같이 행렬로 표현할 수 있다. 예시는 행렬로 한다.

항등행렬→기본행렬
  1. 두 개의 행을 서로 맞바꾼다.
    (첫번째 행과 두번째 행을 서로 맞바꿈.)
  2. 하나의 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한다.
    (첫번째 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱함.)
  3. 하나의 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한 것을 다른 행에 더한다.
    (첫번째 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한 것을 두번째 행에 더함.)

한편 모든 기본행렬은 역행렬을 가지며 이들 또한 기본행렬이다. 각 과정에 해당하는 기본행렬의 역행렬은 다음과 같이 된다.

기본행렬→기본행렬의 역행렬
  1. 두 개의 행을 서로 맞바꾼다.
    (첫번째 행과 두번째 행을 서로 맞바꾼 것을 다시 첫번째 행과 두번째 행을 서로 맞바꿈.)
  2. 하나의 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한다.
    (첫번째 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한 것을 다시 로 나눔.)
  3. 하나의 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한 것을 다른 행에 더한다.
    (첫번째 행 전체에 0이 아닌 수 를 곱한 것을 두번째 행에 더한 것에서 첫번째 행 전체에 를 곱한 것을 뺌.)

그래서 이는 무엇을 의미하는가? 만약 어떤 정사각행렬 가 가우스-요르단 소거법을 통해 기약 행사다리꼴행렬이 항등행렬이 된다는 것은 에 기본행렬들을 거듭 곱하여 항등행렬이 될 수 있다는 것으로, 는 다시 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다는 것이다. 다시 말해서 와 곱해져서 항등행렬이 되는 행렬이 존재하므로, 는 역행렬을 가지는 것이며, 더 나아가서 의 제차 선형시스템에서의 해는 자명한 해 밖에 존재하지 않는다. 이는 또다시 의 기약 행사다리꼴행렬이 항등행렬이라는 사실을 증명한다.

따라서 다음 4가지 명제는 동치이다.

  1. 정사각행렬 의 기약 행사다리꼴행렬은 항등행렬이다.
  2. 정사각행렬 는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.
  3. 정사각행렬 는 역행렬을 가진다.
  4. 정사각행렬 의 제차 선형시스템에서의 해는 자명한 해 밖에 존재하지 않는다.

전치행렬(Transposd matrix)은 행렬의 행과 열을 교환하여 얻어낸 행렬로, 의 행렬 의 전치행렬은 라 표시하고, 이 전치행렬의 행은 개, 열은 개로 구성된다. 그리고 이 과정을 전치(Transpose)라 한다.

전치행렬에 대해 다음 성질이 성립한다.

  1. 행렬 의 전치행렬의 전치행렬은 행렬 와 같다.
  2. 행과 열의 크기가 서로 같은 행렬 와 행렬 에 대해 행렬 이 성립한다.
  3. 행렬 와 스칼라 에 대해 가 성립한다.
  4. 행렬 와 행렬 에 대해 행렬 가 존재할 때, 이 성립한다.

여기서 두번째 성질과 세번째 성질을 종합하면, 행과 열의 크기가 서로 같은 행렬 와 행렬 , 두 스칼라 에 대해 행렬 이 성립하게 되어 전치는 선형연산자가 된다.

대각행렬과 삼각행렬[편집 | 원본 편집]

행렬에서 번째 행 번째 열의 성분들, 즉 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가로지르는 데 있는 성분들을 주대각선이라 하며, 전치의 대칭축 역할을 한다. 그리고 행렬에서 주대각선을 제외한 나머지 성분이 모두 0인 행렬을 대각행렬이라 한다. 따라서 다음은 모두 대각행렬이다.

  • (정사각 대각행렬)

여기서 정사각 대각행렬을 보자. 이 행렬의 주대각선에서 그 어느 성분도 0이 아니라면 이 행렬은 기본행렬의 곱으로 표현 가능하며, 곧 역행렬이 존재한다는 의미가 된다. 그 이유는 다음과 같다.

따라서 은 다음과 같이 표현된다.


벡터[편집 | 원본 편집]

선형변환과 대칭, 사영, 회전[편집 | 원본 편집]

행렬식과 수반행렬[편집 | 원본 편집]

각주[편집 | 원본 편집]

  1. '방정'은 원래 연립선형방정식을 가리키는 단어였다.