정수론

리버티책, 모두가 만들어가는 자유로운 책
Existentialism (토론 | 기여)님의 2024년 5월 16일 (목) 20:42 판 (→‎본문)
(차이) ← 이전 판 | 최신판 (차이) | 다음 판 → (차이)

서문[편집 | 원본 편집]

정수론은 대학교에서 배우는 수학과 전공 가운데서도 가장 직관적이고 쉬운 편에 속하는 과목이다. 오죽이면 초중생들이 수학 올림피아드를 위해 공부하겠는가? 이들이 공부하는 정수론과 대학교 전공 정수론의 내용도 별반 차이가 없다. 정수론의 역사는 4천년이 족히 되고 그 역사의 발자취를 거닐면서 여러 정리가 나오기는 했으나 그럼에도 정수론을 공부하는 이유는 첫째가 암호학 때문이고 둘째가 '겉보기엔 쉬워보이는데 막상 풀려니 어려운 문제'를 누구나 만들어낼 수 있다는, 불알이 알알이 아려오는 어마무시함 때문이다.

본문[편집 | 원본 편집]

정렬 원리[편집 | 원본 편집]

0을 포함하는 자연수는 다음 공리로 서술된다.

0은 자연수이며, 임의의 자연수의 다음 수도 자연수이다.

즉 1, 2, 3 등은 전부 0의 다음 수, 0의 다음 수의 다음 수, 0의 다음 수의 다음 수의 다음 수 따위로 말할 수 있다.

그리고 이 공리에서 도출되는 또 다른 원리가 있다.

자연수의 부분집합이면서 공집합이 아니라면, 그 집합에는 최소의 자연수가 존재한다.

자연수끼리는 서로가 비교 가능하다. 집합 속의 어떤 자연수를 잡아 그 속의 또다른 자연수와 비교하여 가장 작은 것만을 갖기를 반복하면, 어떤 자연수를 뽑더라도 그 가장 작은 자연수보다 작아질 수 없다는 것은 쉽게 알 수 있다. 이것을 정렬 원리라고 한다.

그리고 정렬 원리로부터 유도되는 여러 정리와 알고리즘, 항등식 등이 우리가 정수론에서 배울 것들의 기본이 될 것이다.

나눗셈 정리[편집 | 원본 편집]

임의의 정수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a} 와 0이 아닌 정수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 에 대해, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a=bq+r} 을 만족하는 정수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q} 와 0 이상 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 미만의 정수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r} 의 쌍은 유일하다.


이때 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 로 나눈 몫(Quotient)이라 하고, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 로 나눈 나머지(Remainder)라고 한다.

이는 우리가 초등학교에서 배웠던 (분수를 쓰지 않고 나머지를 표시하는) 자연수의 나눗셈을 정수로 확장한 것으로, 이 정리를 나눗셈 정리라 한다.

이에 대한 증명은 아래와 같다.

집합 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle S} 는 정수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle x} 에 대해 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a-bx} 가 자연수가 되는 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a-bx} 의 모임이다.

즉, 집합 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle S} 는 자연수의 부분집합으로서 공집합이 아니라면 정렬 원리에 따라 최소의 자연수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r} 을 가질 것이다.
그러나 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 이상이고 이때 나눗셈의 몫을 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q} 라 하면, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a-bq=r \geq b} 이므로 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a-b(q+1)=r-b \geq 0} 이 된다.
따라서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r} 보다도 더 작은 자연수인 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r-b} 가 집합 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle S} 에 포함되므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 이상이라는 것은 모순이 된다.
그러므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r} 은 0 이상 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 미만이다. (존재성의 증명)


몫과 나머지의 쌍이 유일하다는 것을 증명하기 위해, 몫과 나머지의 쌍이 사실 여러 개 있다고 생각하자.
최소 2개의 쌍이 있을 것이므로, 그 중 두 쌍을 잡아 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (q_1 ,r_1)}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (q_2 , r_2)} 라 한다.
그러면 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle bq_1 +r_1 =a=bq_2 +r_2} 이므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b(q_2 -q_1)=r_1 -r_2} 이 성립한다.
그런데 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r_1}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r_2} 는 모두 0 이상 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 미만이므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle -b < r_1 -r_2 < b} 여야 한다.
또한, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r_1 -r_2} 는 좌변에 의해 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 의 정수배여야 하므로, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r_1 -r_2} 은 0이어야 한다.
이에 따라 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q_2 -q_1} 도 0이어야 한다.

따라서 몫과 나머지의 쌍은 유일하다. (유일성의 증명)

최대공약수와 최소공배수[편집 | 원본 편집]

0이 아닌 정수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a} 와 아무 정수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b} 에 대해, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b=ac} 를 만족하는 정수 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle c} 가 존재한다면, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a}배수(Multiple)라 하고, 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle a}구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle b}약수(Divisor)라 한다. 이는 기호로 라 쓴다. 만약 그렇지 않다면 빗금을 그어서 라 쓴다.

만약 두 정수 , 에 대해 어떤 자연수 이고 를 만족하면 이러한 들을 공약수(Common divisor)라 하는데, 공약수 중에서 가장 큰 수를 최대공약수(GCD; Greatest common divisor)라 한다. 또한 어떤 자연수 이고 를 만족하면 이러한 들을 공배수(Common multiple)라 하는데, 공배수 중에서 가장 작은 수를 최소공배수(LCM; Least common multiple)라 한다. 특히, 두 정수의 최대공약수가 1일 때에는 두 정수의 관계를 서로소(Relatively prime, Mutually prime, Coprime)라고 부른다.

앞으로는 두 정수 , 의 최대공약수를 , 최소공배수를 으로 표현하자.

18세기 프랑스의 수학자 에티엔 베주(Étienne Bézout)는 다음을 증명하였다.

두 정수 , 에 대해 방정식 의 정수해 가 존재할 필요충분조건은 이다.

베주 항등식

증명은 다음과 같다.


이고 이므로, 가 정수의 쌍이라면 자연히 를 만족한다.
이므로, 이다.



집합 를 정수 , 에 대해 가 자연수가 되는 의 모임이라고 하자.
집합 는 공집합이 아니므로 최소의 자연수가 존재할 것인데, 이를 라고 하자.
그리고 로 나눈 몫과 나머지를 각각 이라고 하자.
인 정수 , 가 존재한다는 뜻이다.
그러나 로 나눈 나머지이므로 0 이상 미만이어야 한다.
이 0이 아니라면 보다 작으므로, 집합 에 있는 최소의 자연수는 가 아니라 이어야 하므로 모순이다.
따라서 으로 의 약수이며, 같은 방식으로 의 약수다.
의 공약수 이며, 방정식 의 정수해 는 존재한다.

그리고 베주 항등식을 이용하면 다음 정리를 증명할 수 있다.

임의의 두 자연수 , 에 대해 이다.


, 의 공약수이므로 인 자연수가 존재한다.
다시 말해서 이므로 , 의 공배수에 속한다.
베주 항등식에 따라 을 만족하는 가 존재한다.
이를 응용하면 자연수 에 대해 다음 식이 도출된다.
.
만약 , 의 공배수라면, 임의의 정수 쌍 에 대해 도 정수가 될 것이며, 같은 값인 도 정수가 된다.
그러므로, 의 충분조건은 의 약수이다.
그런데 만약 이라면 을 만족하는 정수 쌍 이 존재해야 하므로 는 서로소여야 한다.
따라서 이다.

유클리드 알고리즘과 디오판토스 방정식[편집 | 원본 편집]

고대 그리스의 수학자 에우클레이데스(혹은 '유클리드')는 인류 최초의 알고리즘을 만들어내었다. 오로지 나눗셈만 반복하여 두 자연수 , 의 최대공약수를 찾는 알고리즘으로, '호제법'이라는 이름으로도 유명한 알고리즘이다. 이 알고리즘의 시간 복잡도는 일 때, 에 불과할 정도로 매우 효율적이다. 그리고 그 알고리즘은 다음과 같다.

두 자연수 , 에 대해 로 나눈 나머지를 라 하자.
로 나눈 나머지를 이라 하자.
위 과정을 반복하여 으로 나눈 나머지가 0이 되었을 때, 이다.

증명은 다음과 같다.

만 증명하면 나머지는 수학적 귀납법으로 저절로 증명된다.
일반성을 잃지 않고 라 가정한다.
이고 이므로 로 나눈 몫 과 나머지 에 대해 가 성립한다.
이에 따라 가 성립된다.
한편, 어떤 자연수 를 만족하면 자연히 가 되어 가 된다.
따라서 가 성립되어 가 성립된다.

예컨대, 를 구하기 위해 유클리드 알고리즘을 쓰면 다음과 같다.






그리고 이를 거꾸로 밟아보자.





이렇게 유클리드 알고리즘을 거꾸로 하여 원래의 수 두 개를 복원하면, 그 과정에서 의 어떤 정수해 하나가 도출된다. 이것이 아래 문단에 있을 일차 디오판토스 방정식의 무한한 정수해를 구하는 데 큰 역할을 할 것이다.

3세기 고대 그리스의 수학자 디오판토스(Diophantos)는 정수 계수의 부정방정식[1]을 연구한 수학자로, 그의 묘비명에 따르면 디오판토스가 수학을 연구한 시기는 81세에서 84세로 4년이다. (왜냐하면, 아들이 죽어서 슬픈 마음을 달래려고 수학을 연구하다 죽었기 때문이다.) 4년이라는 짧은 시간에도 불구하고 디오판토스는 일차, 이차, 삼차 부정방정식의 해법을 연구하여 지금까지도 이름이 남은 대수학자(代數學者)이다. 그렇기에 디오판토스를 기념하여 방정식의 모든 계수와 상수가 정수이면서 해도 정수인 방정식을 디오판토스 방정식이라고 한다. 우리가 이번에 알아볼 것은, 변수가 2개인 일차 부정방정식의 정수해를 찾는 방법이다.

부정방정식을 풀면서 중요한 것은, 해의 존재성을 증명한 다음에 해를 찾아야 한다는 것이다. 물론, 디오판토스 방정식 의 정수해 가 존재하는지는 베주 항등식으로 알 수 있다. 그럼 이제 디오판토스 방정식 의 정수해를 찾아보자.

만약 방정식 가 어떤 정수해 를 갖는다고 하자. 이는 위에서 말한 유클리드 알고리즘을 이용하여 구할 수 있다.
그러면 이므로, 이게 된다.
이항하면 으로 되는데, 이면 이다.
따라서 이고 이게 된다.
어떤 정수 에 대하여 이라 하면 이므로, 로 된다.
따라서 의 정수해는 정수 에 대하여 꼴로 된다.

소수와 산술의 기본 정리[편집 | 원본 편집]

소수(prime number)는 약수가 1과 자기 자신으로 2개 밖에 없는 2 이상의 자연수를 말한다. 예컨대, 2의 약수는 1과 2 뿐이므로 2는 소수다. 3의 약수는 1과 3 뿐이므로 3은 소수다. 그러나 4의 약수는 1과 4 외에 2가 있으므로 4는 소수가 아니다.

2 이상의 모든 자연수는 소수나 소수들의 곱으로 표현 가능하다. 이는 다음과 같이 증명된다.

어떤 자연수 에 대해, 2 이상 이하의 모든 자연수가 소수나 소수들의 곱이라고 하자.
만약 을 2 이상 이하의 자연수로 차례대로 나눠 본다고 했을 때, 어떤 자연수 에 대해 이라면 는 2 이상 이하의 자연수이므로 소수이거나 소수들의 곱이다.
또한 도 자연수이고 2 이상 이하인 자연수가 분명하므로 도 소수 또는 소수들의 곱이다.
만약 이러한 가 존재하지 않으면 의 약수가 될 수 있는 수는 1과 자기 자신 밖에 없으므로 소수이다.
따라서 2 이상의 모든 자연수는 소수이거나 소수들의 곱이다.

여기서 소수들의 곱으로 표현 가능한 수를 합성수(composite number)라고 하며, 자연수를 소수와 그 곱으로 표현하는 것을 소인수분해(prime factorization)라고 한다. 예컨대, 504를 소인수분해한 결과는 로 된다. 이때 소인수분해를 표시하는 방법은 유일한데, 그 증명은 또 다음과 같다.

로 표현할 수 있다고 하자.
이때, 이면 , 가 성립한다.
또한 이므로 가 성립하여, 어떤 자연수 에 대해 이 성립할 것이다.
마찬가지로 어떤 자연수 에 대해 이 성립할 것이다.
따라서 이다. 이를 반복하면 자연수 에 대해 가 성립하여 소인수분해의 결과는 유일하게 존재한다.

― 산술의 기본 정리

소수에 관한 정리와 추측[편집 | 원본 편집]

소수는 약수가 1과 자기 자신 밖에 없다는 점 때문에 수학자들의 관심을 받았고, 이 점을 이용하여 현대의 복잡한 암호를 만들어내기도 하였다. 수학자들은 소수의 규칙성을 찾아내기 위해 노력하였다. 그리고 그 과정에서 에라토스테네스의 체 같은 간단한 것부터 골드바흐 추측, 리만 가설 등 다양한 정리와 추측이 나오게 된다.

고대 그리스의 수학자 에라토스테네스(Eratosthenes)는 1을 제외한 자연수의 표를 그리고 표에서 지워지지 않은 가장 작은 수를 찾아 그 수를 제외한 배수들을 지워나가는 것을 반복하는 식으로 소수를 찾아내었다. 이를 에라토스테네스의 체라고 한다.

또한 에우클레이데스(Eucleides)는 소수가 무한하다는 것을 증명하였다. 그 증명은 다음과 같다.

소수가 개만 존재한다고 치자. 그리고 은 모두 소수이다.

부터 까지 모든 소수들을 곱한 값에 1을 더한 것을 이라고 하자. 즉, 이다.
은 자연수이므로 산술의 기본 정리에 따라 소인수 분해가 되지만 으로는 나누어 떨어지지 않는다.
따라서 소수의 개수가 유한하다는 가정은 틀렸으며, 소수는 무한히 존재한다.

이에 대한 따름 정리로서, 다음은 자동적으로 증명된다.

소수를 가장 작은 것부터 순서대로 번호를 매기자. 즉 2는 이고, 3은 이며, 번째 소수는 이다.
그러면 2 이상의 자연수 에 대해 과 같거나 작다.

이를 조금 바꾸면 다음도 증명된다.

3 이상의 자연수 에 대해 과 같거나 작다.

위의 에우클레이데스가 증명한 소수의 무한성은 수학에 관한 많은 지식이 없어도 이해할 수 있다는 점에서 많은 수학자들이 우아한 증명 중 하나로 손꼽는다.

비슷하게 소수의 무한성을 증명한 대표적인 인물은 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach), 레온하르트 오일러(Leonhard Euler), 힐렐 퓌르스텐베르크(Hillel Fürstenberg) 등이 있다. 퓌르스텐베르크는 정수의 집합에서 소수의 배수들의 합집합을 뺀 것이 이라는 유한집합이 됨을 보여서 소수가 무한하다는 것을 증명하였다.

그 외에도 앞서 따름 정리로 보였던 것처럼 번째 소수의 상한을 줄여보려는 시도도 있었다. 예컨대 은 우리도 증명할 수 있는 것이다.

일 때, 로 참이 된다.
어떤 자연수 에 대해 이하의 모든 자연수 을 만족한다고 가정하자.
2 이상의 자연수 에 대해 과 같거나 작다는 점을 이용하자.
그러면 은 가정에 따라 과 같거나 작다.
이를 정리하면 이 되는데, 모든 자연수 에 대해 이므로, 이다.

또한 조제프 베르트랑(Joseph Bertrand)은 임의의 자연수 에 대해 인 소수 가 존재한다고 추측하였는데, 여기서 로 하여 부등식을 연속으로 늘리면 이 되어 이라고 추측할 수 있게 된다. 이는 파프누티 체비쇼프(Pafnuty Chebyshchyov)가 증명하여 베르트랑-체비쇼프 정리가 되었고, 나중에 스리니바사 라마누잔(Srinivasa Ramanujan)이 팩토리얼의 해석적 연속을 가지는 함수인 감마 함수로 더 쉽게 증명하였으며, 에르되시 팔(Erdős Pál)은 이항계수와 특별한 함수를 이용하여 더 쉽게 증명하였다.

한편, 을 이용하면 다음도 증명할 수 있다.

5 이상의 자연수 에 대해 이 성립한다. (본제 부등식)


일 때, 이고 이므로 이 성립한다.
양변에 을 곱하면 이 된다.
모든 자연수 에 대하여 이므로 이 성립한다.
따라서 이 성립한다.
여기서 이 5 이상이면 이므로 이 성립한다. 그러므로 이 성립한다.

3 이상의 자연수 에 대해 이 성립한다.


일 때, 이고 이므로 이 성립한다.
양변에 을 곱하면 이 된다.
우변을 로 만들기 위해 이항하면 식은 이 된다.
여기서 이 성립하고 일 때 이므로, 이 된다.
모든 자연수 에 대하여 이므로, 이 되어 3 이상의 자연수 에 대해 이 성립한다.

한편 소수만을 출력하는 함수를 만들려는 시도도 있었다. 오일러는 -40 이상 39 이하의 정수 에 대해 소수들만 출력하는 이차함수 을 찾아내었다. 의 범위를 0 이상 백만 이하의 정수로 제한하면 총 이십육만 천팔십일 개의 소수를 얻을 수 있다. 그 외에도 은 같은 범위 내에서 이십팔만 육천백이십구 개의 소수를 얻어낼 수 있다. 1988년에 발견된 은 0에서 42까지의 정수에 대해 서로 다른 소수를 출력하며, 은 직전의 식보다 조금 더 많은 45개의 소수를 출력한다. 2008년에는 0에서 22까지에 대해 소수를 출력하는 일차함수 가 발견되기도 하였다. 그러나 소수만을 출력하는 정수 계수 다항함수는 존재할 수가 없다. 그리고 그에 대한 증명은 아래와 같다.

정수 계수 다항함수 에 대하여 어떤 정수 을 입력했을 때, 어떤 소수 를 출력한다고 하자.
그러면 이 된다.
이를 만 존재하는 항과 상수항, 가 존재하는 항으로 묶어 정리하면 로 정리할 수 있다.
그러나 이고 또한 에 대한 정수 계수 다항식이므로 가 되어 소수가 아니게 된다.
따라서 소수만을 출력하는 다항함수는 존재하지 않는다.

다만, (합성수와 1을 포함하여) 소수를 무한히 출력할 수 있는 다항함수와 수열은 존재한다. 요한 디리클레(Johann Dirichlet)는 서로소인 두 정수 , 에 대해 의 꼴에 해당하는 소수가 무한함을 증명하였다. 이에 대한 따름 정리로서 소수 , 3 이상의 정수 , 공차 에 대해 , , , 가 모두 소수이면 이하의 모든 소수 에 대해 나눠 떨어진다는 정리가 있다. 그 증명은 아래와 같다.

의 약수가 되지 않는다면 , , , 로 나눈 나머지는 서로서로 다르게 된다.
왜냐하면 0 이상 이하 서로 다른 두 정수 , 에 대해 로 나눈 나머지가 같다면, 의 배수가 되는데, 모두 의 배수가 아니기에 모순이 되기 때문이다.
따라서 , , , 가운데 로 나눈 나머지가 0이 되는 항이 존재하게 되니 모순이 된다.
따라서 의 약수다.

한편, 임의의 자연수 에 대해 최초 개의 항이 모두 소수가 되는 등차수열이 존재하는지는 위와는 달리 오랫동안 증명되지 못했다가 2004년에 벤 그린(Ben Green)과 테렌스 타오(Terence Tao)가 증명하여 그린-타오 정리가 되었다. 테렌스 타오는 이 업적으로 2006년에 필즈상을 수상했으며, 같은 해에는 이를 좀 더 확장하여 임의의 자연수 와 임의의 정수 공차에 대해 최초 개의 항이 모두 소수가 되는 등차수열이 존재함을 타마르 치글러(Tamar Ziegler)[2], 브라이언 쿡(Brian Cook), 아코스 머저르(Ákos Magyar), 땃차이 띠띠쳇라꾼(Tatchai Titichetrakun)과 함께 증명하여 타오-치글러 정리가 되었다. 한편, 타오-치글러 정리는 2015년에 제이컵 폭스(Jacob Fox)와 자오위페이(Zhao Yufei)가 보다 쉬운 방법으로 증명하기도 하였다.

크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러와 편지를 주고 받는 과정에서 다음과 같은 추측을 한다.

4 이상의 모든 짝수는 2개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

골드바흐의 강한 추측

그리고 이에 대한 오일러의 답은 다음과 같았다.

7 이상의 모든 홀수는 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

골드바흐의 약한 추측

두 추측에 각각 '강한 추측', '약한 추측'이라는 이름이 붙은 이유는, '강한 추측'이 참이면 '약한 추측'도 자연히 참이 되지만[3] 그 반대는 성립하지 않을 수 있기 때문이다. 내용 자체는 소수가 무엇인지 배우는 중학생들도 이해할 수 있는 문제지만, 해답은 수백 년이 지나도록 풀리지 않았었다. 그러다가 2013년에 아랄드 엘프고트(Harald Helfgott)가 약한 추측의 증명에 성공하였다. 골드바흐의 추측이 영화의 소재였던 영화 《페르마의 밀실》이 개봉한 지 6년 만이었다.

또한 두 소수의 차이가 2인 소수의 쌍이 무한한지에 관한 문제인 '쌍둥이 소수 추측'도 정수론에서 끊임없이 쏟아져 나오는 주제 중 하나다. 이를 해결하기 위해 쌍둥이 소수의 역수의 합을 구해봤으나 판별 불가로 판정되었고, 2013년에는 장이탕(Zhang Yitang)[4]이 두 소수의 차이가 7000만 이하인 소수의 쌍이 무한하다는 것을 처음 증명한 이후, 테렌스 타오와 제임스 메이나드(James Maynard) 등이 그 차이를 246 이하로 줄이는 데 성공하였다. 그 외에도 몇 가지 가설이 모두 참이라면 이 차이는 6으로 줄일 수 있다. (참고로, 두 소수의 차이가 6인 소수의 쌍을 섹시 소수라고 한다. 이유는 라틴어로 6이 sex이기 때문.)

그리고 소수 하면 빼놓을 수 없는 추측이 리만 가설이다. 리만 가설을 이해하기 위해서는 수학자들이 소수의 개수를 계산하기 위해 얼마나 목을 메었는지를 먼저 알아야 한다. 프리드리히 가우스(Friedrich Gauss)는 이하의 소수 개수가 대략 일 것이라고 추측했다. 리만은 자신의 논문에서 실제 소수의 개수와 가우스의 식에서의 오차가 을 만족하면서 실수부가 0과 1 사이에 있는 에 대해 일 것이라고 논문을 내었다. 그런데 리만이 이 의 값들을 일일이 구해본 결과, 의 실수부는 모두 이었다. 즉, 리만 가설은 이러한 들의 모든 실수부가 일 것이라는 가설이다. 리만 가설이 참이라면 이하의 실제 소수의 개수와 의 오차는 이내이다. 결론을 말하자면 이미 다른 방법으로 소수의 개수가 대략 이라는 것과 실제 개수와 가우스의 식에서의 값이 무한히 역전한다는 사실 등이 증명되기는 하였다. 이와 관련된 사실을 증명한 사람 중에는 앞서 언급한 파프누티 체비쇼프, 에르되시 팔도 있었다. 문제는 리만 가설만 안 풀렸다는 것이다. 푸는 사람들마다 미친다는 소문이 돌 정도로 학계에서 부정적인 인식이 있기도 한 것도 마찬가지이다. (예컨대 존 내시, 마이클 아티야라든가.) 또 풀린다고 쳐도 의 허수부는 여전히 딱히 규칙성이 안 보이기도 한다. 그럼에도 불구하고 많은 고급의 정수론 문제가 리만 가설에 의존하고 있기도 하기에 리만 가설이 참이든 거짓이든 학계에 불러올 파장은 매우 클 것이다.

합동식[편집 | 원본 편집]

자연수 과 두 정수 에 대해 이라면 이를 이라 하는데, 이러한 형태의 식을 합동식이라 한다. 즉, 으로 나눈 나머지가 같은 두 정수는 에 대해 합동이다. 만약 그렇지 않으면 이라 나타낸다. 특히 으로 나눈 나머지라면, 괄호 없이 이라 한다.

한편, 정수의 부분집합인 와 자연수인 에 대해, 모든 정수 에 대해 을 만족하는 정수 가 집합 안에서 유일하게 존재할 때, 이 에 대한 잉여류라 한다. 대표적으로 은 대표적인 에 대한 잉여류다.

합동식에 대한 성질은 다음과 같다. 이때, , 는 2 이상의 자연수이고, , , , 는 모두 정수이다.

  1. 이고 이면,
  2. 이고 이면,
  3. 이고 이면,
  4. 이고 이면,

합동식을 이용하면 다음과 같은 문제를 해결할 수 있다.

은 41로 나눠 떨어지는가?


이 1024라는 걸 안다손 치더라도 을 필산 및 암산하기엔 1048575는 좀 큰 수이다. 심지어 나눗셈도 해야 한다. 그러나 합동식을 이용하면 다음과 같이 풀 수 있다.



따라서 은 41로 나눠 떨어진다.

십진수에서의 배수 판별법[편집 | 원본 편집]

십진수에서의 2, 3, 5, 9, 11배수 판별법은 다들 그냥 어느 정도는 아는 사실이다만, 이를 합동식으로써 증명할 것이다.

2배수(짝수) 판별법
2가 10의 약수이므로 십의 자리 이상의 숫자는 판별하는 데 아무 쓸모가 없다. 다만, 일의 자리의 숫자가 0, 2, 4, 6, 8인지만 가려내면 된다.
5배수 판별법
5 또한 10의 약수이므로, 십의 자리 이상의 숫자는 판별하는 데 아무 쓸모가 없다. 일의 자리의 숫자가 0 또는 5인지만 가려내면 된다.
3배수 판별법
3배수이면서 9배수이고 10의 거듭제곱에 가장 가까운 수인 (은 자연수)를 이용할 것이다.
십진수 에 대해, 모든 자연수 에 대해 가 3배수라는 점을 이용하면 이므로, 이다. 즉, 각 자릿수를 더해서 3배수이면 원래의 수도 3배수인 것이다. 따라서 각 자릿수를 더한 값이 한자릿수가 될 때까지 반복하여 0, 3, 6, 9 중 하나가 되면 3배수이다.
9배수 판별법
3배수와 정확히 같은 원리와 방법을 이용하여 결과가 0 또는 9가 되면 9배수이다.
11배수 판별법
복잡하기는 하지만, 이 짝수일 때에는 이 11의 배수이고(왜냐하면 99의 배수이기 때문이다.), 이 홀수일 때에는 이 11의 배수라는 점을 이용한다.
따라서 십진수 에 대해 이다. 즉, 일의 자리의 수부터 더하고 빼고를 교대로 하여 계산하였을 때 0이거나 11배수이면 11배수이다.

비록 몇 안 되는 배수 판별법이나, 둘 이상의 판별법을 사용하면 2, 3, 5, 9, 11배수는 물론 6, 15, 18, 22, 33, 45, 55, 66, 99, 165, 198, 495배수도 판별할 수 있다.

중국인의 나머지 정리[편집 | 원본 편집]

예나 지금이나 학자들은 서로 만나면 서로 알고 있는 것이나 자신이 발견한 것을 주제로 대화를 나누거나 서로 문제풀이를 하게 된다. 예컨대, 조선의 수학자인 홍정하[5]가 청나라의 수학자 하국주와 수학으로 맞짱뜬 얘기나, 이탈리아에서 타르탈리아와 안토니오 피오르가 삼차방정식으로 맞짱뜬 얘기는 너무나도 유명하다.

한화휴제, 어쨌든 중국의 수학자와 유럽의 수학자들도 이처럼 세미나를 열어서 서로의 지식을 공유하기 시작했다. 그러나 중국의 이론 대부분이 유럽의 것에 비해 뒤쳐져 있었으나 딱 하나만큼은 유럽의 수학자들도 몰랐다고 전해지는 정리가 있었으니, 그것이 '중국인의 나머지 정리'(CRT; Chinese Remainder Theorem)다. 보통 같았음 발견자의 이름을 따서 정리의 이름을 매겼겠지만 ― 예컨대 피타고라스 정리, 테일러 급수, 카마이클 수, 오일러 법칙처럼 ―, 이건 중국인들도 누가 발견했는지 모르기 때문에 그냥 '중국인의 나머지 정리'라 부른다.

각각에 대해 모두 서로소인 개의 자연수 , , , 정수 , , , 에 대해, 다음 연립합동방정식을 만족하는 수 에 대해 유일하게 존재한다.

중국인의 나머지 정리

중국인의 나머지 정리를 증명하기 위해선, 잉여역수를 먼저 알아야 한다.

자연수 과 정수 가 서로소일 때, 을 만족하는 정수 에 대한 잉여역수라 한다. 특히, 여기서는 작성과 이해의 편의를 위해 잉여역수를 라고 표시하기로 한다. 즉, 이다. 또한, 의 해는 로 된다.

잉여역수를 이용하여 중국인의 나머지 정리에서의 해를 구하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

이것이 왜 연립방정식의 해가 되는지는 다음을 보면 된다.

개의 자연수 , , , 는 모두 서로소이므로, 1 이상 이하 임의의 자연수 에 대해 와 서로소이므로, 가 존재하게 된다. 한편, 1 이상 이하 임의의 자연수 에 대해 이면 의 배수가 되기 때문에, 이면 이 되어 가 되고, 이면 이 되어 가 된다. 이를 모두 더하게 되면 의 해가 된다.

반대로, 의 유일한 해라는 것을 보이기 위해 귀류법을 쓰자. 이 이 연립방정식의 해가 되면서 이라고 가정한다. 그러나 1 이상 이하의 모든 자연수 에 대해 이기 때문에 모순이 된다. 따라서 의 유일한 해가 된다.

선형연립합동방정식[편집 | 원본 편집]

미지수가 1개일 때에는 중국인의 나머지 정리로 풀었지만, 미지수가 2개 이상이면 어떻게 풀어야 할까? 다음 식을 보자.

(, , , 는 정수이고 는 자연수다.)

가감법을 이용하여 한 미지수의 계수를 0으로 만들어 다른 미지수의 해를 구할 것이다. 즉, 를 구하고자 하면 다음과 같이 하면 된다.

다른 미지수의 해도 같은 방법으로 구한다.

혹시 '연립방정식의 풀이'라는 점과 라는 부분에서 기시감을 느꼈는가? 그렇다. 이건 행렬로도 풀 수 있다. 식을 다음과 같이 쓰자.

이고 이므로, 이 서로소라면 이 존재할 것이고, 이 될 것이다. 즉, 미지수가 2개인 선형연립합동방정식이 에 대해 유일한 해를 가질 조건은 로, 보다도 강력한 조건을 가진다.

이를 일반화하면 다음과 같이 풀 수 있다.

정사각행렬 과 자연수 에 대해 식 의 해 벡터 는 존재한다면 로 된다.

페르마의 작은 정리[편집 | 원본 편집]

페르마의 작은 정리(Fermat's little theorem)는 소수 와 서로소인 정수 에 대해 라는 정리다. 그 증명은 다음과 같다.

소수 와 서로소인 정수 에 대해 , , , 또한 와 서로소다.
한편, , , , 로 나눈 나머지는 에서 서로 겹치지 않는다.
왜냐하면, 1 이상 이하의 서로 다른 어떤 두 자연수 에 대해 라면, 도 1 이상 이하의 자연수인데, 가 성립하는 모순이 발생하기 때문이다.
따라서 가 성립하는데, 와 서로소이기 때문에 최종적으로는 소수 와 서로소인 정수 에 대해 가 성립한다.
한편, 소수 와 모든 정수 에 대해 가 성립하기도 하는데, 왜냐하면 와의 서로소가 아니라면 곧 의 배수가 된다는 뜻으로, 이때 가 성립하기 때문이다.

그러나 페르마의 작은 정리가 소수에서만 성립하는 것은 아니다. 예컨대, 은 11과 31로 나눈 나머지가 공교롭게도 1로 같은데, 11과 31의 곱에서 1을 뺀 수는 공교롭게도 10의 배수이다. 즉, 이 성립된다. 이렇게, 소수가 아님에도 페르마의 작은 정리를 만족시킬 수 있는 수를 유사소수(Pseudoprime)라고 한다. 341은 2에 대한 가장 작은 유사소수(The least pseudoprime to the base 2)지만 3에 대해서는 성립하지 않는다. 실제로 계산해 보면 으로 되어 성립하지 않음을 알 수 있다. (3에 대한 가장 작은 유사소수는 91이다.)

위의 유사소수의 경우에는 그래도 페르마의 작은 정리가 성립되지 않은 적당한 경우라도 있지마는, 절대유사소수(Absolute pseudoprime) 또는 카마이클 수(Carmichael number)는 자기 자신과 서로소이기만 한다면 어떤 수이든간에 페르마의 작은 정리를 만족하게 된다. 조금 비틀자면, 모든 정수 에 대해서 를 만족하는 가 바로 카마이클 수다. 가장 작은 카마이클 수는 1910년에 로버트 카마이클(Robert Carmichael)이 발견한, 3과 11과 17의 곱인 561로 알려져 있다. 카마이클 수를 증명하는 가장 쉬운 방법은 자연수 로 소인수분해될 때 모든 소인수에 대해 인지를 확인하면 된다. 왜냐하면, 일단 페르마의 작은 정리에 따라 가 성립되는데 이라면 가 되는데 이것이 의 모든 소인수에 대해 성립한다면 이 되기 때문이다. 또한 짝수인 카마이클 수는 존재하지 않는다. 왜냐하면, 짝수인 카마이클 수 이 존재한다고 했을 때, 이기 때문이다. 마지막으로, 카마이클 수는 무한하다는 것이 1990년대에 증명되었고, 2022년에는 고등학교 3학년에서 갓 MIT 수학과로 진학한 대니얼 라슨(Daniel Larson)이 충분히 큰 수 에 대해 보다 크고 보다 작은 카마이클 수가 존재함을 증명해냈다.

윌슨의 정리[편집 | 원본 편집]

페르마-크라이치크 소인수분해법[편집 | 원본 편집]

수론적 함수[편집 | 원본 편집]

달력[편집 | 원본 편집]

오일러 피 함수와 오일러 정리[편집 | 원본 편집]

원시근[편집 | 원본 편집]

이산로그[편집 | 원본 편집]

이차 잉여와 이차 상호 법칙[편집 | 원본 편집]

암호 기초[편집 | 원본 편집]

페르마의 마지막 정리의 부분해법[편집 | 원본 편집]

요즘 이야기[편집 | 원본 편집]

각주[편집 | 원본 편집]

  1. 해가 여럿이거나 무한한 방정식
  2. 앞서 언급한 힐렐 퓌르스텐베르크의 제자
  3. 2 이상의 자연수 에 대해 이 두 소수 , 의 합 로 나타낼 수 있다면, 7 이상의 자연수인 으로 나타낼 수 있다.
  4. 수학 박사였는데 당시에는 패스트푸드 가게에서 알바 뛰고 있었다.
  5. 산가지로 10차방정식의 해를 수치해석적으로 구하는 방법을 알아낸 수학자다. (단순 사칙연산은 주판이 수월하지만, 방정식의 풀이에는 산가지가 적합하다. 한편, 홍정하는 삼각함수를 몰랐다고 한다.)